2008-天津卷文-16 填-卡片排列计数

本题导读

考查排列组合。三组数字组合分别计数：双对子各 $4!=24$，四个互异数字 $2^4\cdot 4!=384$，合计 $432$。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(文)） 有 $4$ 张分别标有数字 $1$，$2$，$3$，$4$ 的红色卡片和 $4$ 张分别标有数字 $1$，$2$，$3$，$4$ 的蓝色卡片，从这 $8$ 张卡片中取出 $4$ 张卡片排成一行. 如果取出的 $4$ 张卡片所标的数字之和等于 $10$，则不同的排法共有$\underline{}$ 种.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先定数字组合（不计颜色）：四个数字（$1\sim 4$ 各两张共 $8$ 张中取 $4$ 张）和为 $10$ 的组合有 $\{4,4,1,1\}$、$\{4,3,2,1\}$、$\{3,3,2,2\}$。
2. $\{4,4,1,1\}$：红 $4$、蓝 $4$、红 $1$、蓝 $1$ 四张卡片互不相同，排法 $4!=24$。
3. $\{4,3,2,1\}$：每个数字有红、蓝两种选法，共 $2^4=16$ 组卡片，每组排法 $4!=24$，计 $16\times 24=384$。
4. $\{3,3,2,2\}$：同 $\{4,4,1,1\}$，计 $24$。
5. 合计 $24+384+24=432$。

✅【答案】

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$432$

✍【详细解析】

Abstract

取出的 $4$ 张卡片数字之和为 $10$，数字组合（不计颜色）有三种情形. 情形一：$\{4,4,1,1\}$，即红 $4$、蓝 $4$、红 $1$、蓝 $1$ 四张卡片，它们互不相同，排法为 $4!=24\text{种}.$ 情形二：$\{4,3,2,1\}$，四个数字各不相同，每个数字可取红色或蓝色卡片，共 $2^4=16$ 种取法，每种取法排成一行有 $4!=24$ 种排法，计 $16\times 24=384\text{种}.$ 情形三：$\{3,3,2,2\}$，与情形一同理，计 $24$ 种. 所以不同的排法共有 $24+384+24=432\text{种}.$ 故答案为 $432$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：排列组合的数字卡片模型

核心方法：$\{4,4,1,1\}$：$24$；$\{4,3,2,1\}$：$2^4\times 24=384$；$\{3,3,2,2\}$：$24$；合计 $432$

避坑指南：先按数字多重集分类（和为 $10$ 的三种），再按颜色选择计数：全对子组合卡片唯一，互异数字组合每张有红蓝两选；最后排列。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“双色卡片排列”是排列组合与分类加法的综合题，2009 北京文第 5 题、2010 重庆文第 10 题同型。

结论推广：分类加法、分步乘法；多重集排列 $\frac{4!}{2!2!}$ 用于”不区分颜色”，本题颜色可区分故直接 $4!$。

方法推广：易错一：$\{4,4,1,1\}$ 误用 $\frac{4!}{2!2!}=6$（忽略了红蓝可区分）；易错二：漏掉 $\{3,3,2,2\}$ 类。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合
• 22.02 排列组合 16 种核心解题模型与策略

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-05 单-四位偶数排列
• 2010-重庆卷文-10 单-排列容斥计数
• 2010-四川卷文-09 单-排列容斥计数
• 2012-大纲卷文-07 单-排列特殊元素