2008-天津卷理-14 填-向量

本题导读

本题考查平面向量的加减运算、平面向量的数量积坐标运算，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2008年天津卷(理)） 如图，在平行四边形 $ABCD$ 中，$\overrightarrow{AC}=(1,2)$，$\overrightarrow{BD}=(-3,2)$，则 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设 $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AD}=\vec{b}$，根据平行四边形法则将对角线向量 $\overrightarrow{AC}$ 和 $\overrightarrow{BD}$ 用 $\vec{a},\vec{b}$ 表示。
2. 联立向量坐标方程组，求出 $\overrightarrow{AD}$（即 $\vec{b}$）的坐标。
3. 利用向量数量积的坐标公式计算 $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}$。

✅【答案】

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$3$

✍【详细解析】

Abstract

设 $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AD}=\vec{b}$。 由平行四边形几何性质可知： $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\vec{a}+\vec{b}=(1,2)$ $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}=(-3,2)$ 两式相加得： $2\vec{b}=(1,2)+(-3,2)=(-2,4)⟹\vec{b}=(-1,2)$ 即 $\overrightarrow{AD}=(-1,2)$。 所以： $\overrightarrow{AD}\cdot \overrightarrow{AC}=(-1,2)\cdot (1,2)=-1\times 1+2\times 2=3$

故答案为：3。#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：平面向量的基底表示与坐标运算；数量积坐标公式 $\vec{x}\cdot \vec{y}=x_1{y}_1+x_2{y}_2$。
2. 核心方法：向量方程组法。
3. 避坑指南：注意平行四边形中对角线向量的方向，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ 极易因减法顺序颠倒记错为 $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中平面向量基本定理与坐标运算的交汇大类题型。
2. 结论推广：在任意四边形中，利用对角线向量的线性组合来表达边向量是研究向量投影、夹角及数量积的通用途径。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-20 解-向量平行垂直解三角形
• 2009-北京卷理-02 单-向量
• 2009-北京卷文-02 单-向量共线