2008-安徽卷理-03 单-向量

本题导读

本题结合平行四边形的几何背景，考查平面向量的坐标线性运算，旨在考查数形结合思想与运算能力。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(理)） 在平行四边形 $ABCD$ 中，$AC$ 为一条对角线，若 $\overrightarrow{AB}=(2,4)$，$\overrightarrow{AC}=(1,3)$，则 $\overrightarrow{BD}=$ ()

A. $(-2,-4)$　　　　B. $(-3,-5)$　　　　C. $(3,5)$　　　　D. $(2,4)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用平行四边形的法则或向量加减法，将待求向量 $\overrightarrow{BD}$ 用已知向量 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 表示。
2. 带入坐标进行运算，或直接建立直角坐标系通过点的坐标求解。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

解法一：向量法 在平行四边形 $ABCD$ 中，根据向量加法的平行四边形法则，有 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$， 则 $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$。 从而 $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$。 代入坐标得： $\overrightarrow{BD}=(1,3)-2(2,4)=(1-4,3-8)=(-3,-5)$。 故选 (B)。

解法二：坐标法 设点 $A$ 为原点 $(0,0)$，则由 $\overrightarrow{AB}=(2,4)$，$\overrightarrow{AC}=(1,3)$ 可得 $B(2,4)$，$C(1,3)$。 因为 $ABCD$ 为平行四边形，所以 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$。 设 $D(x,y)$，则 $(1-x,3-y)=(2,4)$，解得 $x=-1,y=-1$，即 $D(-1,-1)$。 所以 $\overrightarrow{BD}=D-B=(-1-2,-1-4)=(-3,-5)$。 故选 (B)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量的线性加减法则及坐标运算。
2. 核心方法：利用平行四边形的对边平行且相等转化向量。
3. 避坑指南：减法顺次连接时注意方向，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$，极易误写为 $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是平面向量基本定理在几何图形中的经典应用。
2. 结论推广: 在平行四边形 $ABCD$ 中，其两条对角线满足 $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$，即 $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-20 解-向量平行垂直解三角形
• 2009-北京卷理-02 单-向量
• 2009-北京卷文-02 单-向量共线