2008-安徽卷理-10 单-正态分布

本题导读

本题考查正态分布密度曲线的几何性质，要求通过观察图象特征，准确判断正态分布中的两个重要参数均值 $\mu$ 和标准差 $\sigma$ 的大小关系。

📌【题干】

Question

（2008年安徽卷(理)） 设两个正态分布 $N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$（${\sigma }_1>0$）和 $N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$（${\sigma }_2>0$）的密度函数图像如图所示，则有 ()

A. ${\mu }_1<{\mu }_2,{\sigma }_1<{\sigma }_2$　　　　　　　　　　　　　　　B. ${\mu }_1<{\mu }_2,{\sigma }_1>{\sigma }_2$

C. ${\mu }_1>{\mu }_2,{\sigma }_1<{\sigma }_2$　　　　　　　　　　　　　　　D. ${\mu }_1>{\mu }_2,{\sigma }_1>{\sigma }_2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察正态曲线的对称轴位置，对称轴 $x=\mu$ 决定了曲线的左右位置，以此判定 ${\mu }_1$ 与 ${\mu }_2$ 的大小。
2. 观察正态曲线的“胖瘦”或最高点高度，标准差 $\sigma$ 决定了曲线的离散程度与最高点高度（最高点为 $\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$），以此判定 ${\sigma }_1$ 与 ${\sigma }_2$ 的大小。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由正态分布密度曲线的性质可知：

1. 正态曲线关于直线 $x=\mu$ 对称。从图中可以看出，第一个正态曲线的对称轴 ${\mu }_1$ 在 $y$ 轴左侧（${\mu }_1<0$），第二个正态曲线的对称轴 ${\mu }_2$ 在 $y$ 轴右侧（${\mu }_2>0$），所以 ${\mu }_1<{\mu }_2$。
2. 正态曲线的最高点位置由 $\sigma$ 决定，最高点纵坐标为 $\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }$。当 $\sigma$ 越小时，曲线越“尖锐”，最高点越高。图中第一个曲线的峰值明显高于第二个曲线的峰值，说明 $\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_1}>\frac{1}{\sqrt{2\pi }{\sigma }_2}$，从而 ${\sigma }_1<{\sigma }_2$。 综上所述，${\mu }_1<{\mu }_2,{\sigma }_1<{\sigma }_2$。 故选 (A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正态分布中两个参数的物理与几何意义—— $\mu$ 决定位置，$\sigma$ 决定形状。
2. 核心方法：数形结合。口诀为：“左小右大看对称轴（指 $\mu$），高尖矮胖看峰值（峰越高 $\sigma$ 越小）”。
3. 避坑指南：容易把曲线的高矮与 $\sigma$ 的大小关系弄反，务必牢记标准差越大，数据越分散，曲线越矮胖。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题直接取材于高中概率与统计选修教材中关于正态分布密度曲线特征的对比实验习题。
2. 结论推广: 任何正态分布密度曲线下的总面积恒等于1。当 $\mu$ 保持不变而 $\sigma$ 减小时，曲线中间部分变高，两边变低，体现了数据的集中程度。

🔗【关联脉络】

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