2010-山东卷理-05 单-正态分布

本题导读

本题考查正态分布 $N(0,{\sigma }^2)$ 的对称性特征，利用已知单侧尾部概率求解对称区间概率。

📌【题干】

Question

（2010年山东卷(理)） 已知随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N(0,{\sigma }^2)$.若 $P(\xi >2)=0.023$，则 $P(-2\le \xi \le 2)=$()

A. $0.477$　　　　　B. $0.628$　　　　　C. $0.954$　　　　　D. $0.977$

🔍【思路分析】

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1. 由 $\xi \sim N(0,{\sigma }^2)$，可知正态曲线关于 $x=0$ 对称。
2. 利用对称性知 $P(\xi <-2)=P(\xi >2)=0.023$。
3. 由全概率为 $1$，计算区间概率 $P(-2\le \xi \le 2)=1-P(\xi <-2)-P(\xi >2)$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\xi \sim N(0,{\sigma }^2)$，正态分布曲线关于直线 $x=0$ 对称。

由已知 $P(\xi >2)=0.023$，根据对称性可得： $P(\xi <-2)=P(\xi >2)=0.023$

因此，区间 $[-2,2]$ 内的概率为： $P(-2\le \xi \le 2)=1-P(\xi <-2)-P(\xi >2)$ $P(-2\le \xi \le 2)=1-0.023-0.023=1-0.046=0.954$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正态曲线关于均值 $\mu$ 的对称性。
2. 核心方法：利用 $P(\mu -k\le \xi \le \mu +k)=1-2P(\xi >\mu +k)$ 计算。
3. 避坑指南：注意分辨是单侧概率还是双侧概率，勿将 $P(\xi >2)$ 直接作为两侧概率之和。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于正态分布 $2\sigma$ 原则与对称性性质。
2. 结论推广：对 $\xi \sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，有 $P(\mu -a\le \xi \le \mu +a)=1-2P(\xi >\mu +a)$。

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