2008-山东卷文-22 解-菱形内切椭圆与面积最值

本题导读

$2ab=4\sqrt{5}$ 且 $2\sqrt{a^2+b^2}\cdot \frac{2\sqrt{5}}{3}=4\sqrt{5}\Rightarrow a^2+b^2=9\Rightarrow a=\sqrt{5},b=2$；轨迹 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{5}={\lambda }^2$；$S_{\min }=\frac{40}{9}$.

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(文)） 已知曲线 $C_1:\frac{|x|}{a}+\frac{|y|}{b}=1$（$a>b>0$）所围成的封闭图形的面积为 $4\sqrt{5}$，曲线 $C_1$ 的内切圆半径为 $\frac{2\sqrt{5}}{3}$. 记 $C_2$ 为以曲线 $C_1$ 与坐标轴的交点为顶点的椭圆.

(1)求椭圆 $C_2$ 的标准方程；

(2)设 $AB$ 是过椭圆 $C_2$ 中心的任意弦，$l$ 是线段 $AB$ 的垂直平分线. $M$ 是 $l$ 上异于椭圆中心的点. （i）若 $|MO|=\lambda |OA|$（$O$ 为坐标原点），当点 $A$ 在椭圆 $C_2$ 上运动时，求点 $M$ 的轨迹方程； （ii）若 $M$ 是 $l$ 与椭圆 $C_2$ 的交点，求 $△AMB$ 的面积的最小值.

🔍【思路分析】

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(1)$2ab=4\sqrt{5}$，$r=\frac{2ab}{2\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{3}\Rightarrow a^2+b^2=9$，解得 $a=\sqrt{5},b=2$，$C_2:\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$. (2)$AB$ 中点是 $O$，故 $OM\perp OA$，用 $(x_0,y_0)=k(-y,x)$ 代换；（ii）设 $A$ 方向角 $\theta$，$S^2=r_1^2{r}_2^2=\frac{400}{(4+u)(5-u)}$，$u={\sin }^2\theta$.

✅【答案】

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(1)椭圆 $C_2$ 的标准方程为 $\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$ (2)（i）点 $M$ 的轨迹方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{5}={\lambda }^2$（$\lambda \ne 0$） （ii）$△AMB$ 的面积最小值为 $\frac{40}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)曲线 $C_1$ 是菱形，四个顶点为 $(\pm a,0)$、$(0,\pm b)$，面积 $S=2ab=4\sqrt{5}$，即 $ab=2\sqrt{5}$. 菱形边长 $\sqrt{a^2+b^2}$，内切圆半径 $r=\frac{S}{\frac{1}{2}\times 4\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{a^2+b^2}}=\frac{2\sqrt{5}}{3}$，故 $a^2+b^2=9$. 联立 $ab=2\sqrt{5}$ 得 $(a+b{)}^2=9+4\sqrt{5}$，$(a-b{)}^2=9-4\sqrt{5}$，解得 $a=\sqrt{5}$，$b=2$（$a>b>0$）. 故椭圆 $C_2:\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$. (2)（i）$AB$ 过中心 $O$，故 $B=-A$，线段 $AB$ 的中点为 $O$，垂直平分线 $l$ 过 $O$ 且 $OM\perp OA$，即 $x{x}_0+y{y}_0=0$. 由 $\mathbf{OM}\perp \mathbf{OA}$ 可设 $(x_0,y_0)=k(-y,x)$. 代入 $4x_0^2+5y_0^2=20$ 得 $k^2(4y^2+5x^2)=20$. 由 $|MO|=\lambda |OA|$ 得 $x^2+y^2={\lambda }^2{k}^2(x^2+y^2)$，因 $M$ 异于 $O$，$k^2=\frac{1}{{\lambda }^2}$. 故 $5x^2+4y^2=20{\lambda }^2$，即 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{5}={\lambda }^2$（$\lambda \ne 0$）.（斜率不存在时 $A$ 在长轴端点，$M$ 落在短轴上，同样满足） （ii）设 $A=(r_1\cos \theta ,r_1\sin \theta )$，则 $r_1^2\left(\frac{{\cos }^2\theta }{5}+\frac{{\sin }^2\theta }{4}\right)=1$；因 $OM\perp OA$，设 $M=(-r_2\sin \theta ,r_2\cos \theta )$，则 $r_2^2\left(\frac{{\sin }^2\theta }{5}+\frac{{\cos }^2\theta }{4}\right)=1$. $|AB|=2r_1$ 且 $OM\perp AB$，故 $S_{△AMB}=\frac{1}{2}\cdot 2r_1\cdot r_2=r_1{r}_2$，$S^2=r_1^2{r}_2^2=\frac{400}{(4{\cos }^2\theta +5{\sin }^2\theta )(5{\sin }^2\theta +4{\cos }^2\theta )}$. 令 $u={\sin }^2\theta \in [0,1]$，分母 $=(4+u)(5-u)=20+u-u^2⩽20+\frac{1}{4}=\frac{81}{4}$（$u=\frac{1}{2}$ 时取等）. 故 $S^2⩾\frac{400}{81/4}=\frac{1600}{81}$，即 $S⩾\frac{40}{9}$，$△AMB$ 的面积最小值为 $\frac{40}{9}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：菱形内切圆定椭圆与面积最值

核心方法：菱形面积 $2ab$ 与内切圆半径联立定 $a,b$；垂直共线代换求轨迹；面积平方化为二次函数取最值

避坑指南：菱形内切圆半径 $$\begin{gathered} r= \\ frac2ab2 \\ sqrt{a}^2+b^2 \end{gathered}$$（面积÷半周长），公式别记错；$$\begin{gathered} u- \\ sigma \end{gathered}$$ 型最值 $$\begin{gathered} u- \\ m{u}^2 \end{gathered}$$ 在 $$\begin{gathered} u= \\ frac12 \end{gathered}$$ 取最大，分母最大时 $S$ 最小

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：菱形/绝对值曲线定椭圆是定义综合题（2009 江西文 22 椭圆内切圆）

结论推广：推广到内切圆、内接菱形与椭圆参数的互求

方法推广：面积+内切圆半径两个几何量恰定 $a,b$；垂直弦面积最值化为三角函数平方

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2009-江西卷文-22 解-椭圆内切圆
• 2009-山东卷文-22 解-轨迹与椭圆圆综合
• 2009-新课标卷文-20 解-椭圆方程与相关点轨迹
• 2009-天津卷文-22 解-椭圆平行比例与外接圆