2009-江西卷文-22 解-椭圆内切圆

本题导读

考查椭圆与圆综合。(1) 面积法 $r=\frac{2S}{\text{周长}}$ 结合椭圆方程解得 $r=\frac{2}{3}$；(2) 两条切线的第二交点 $E$，$F$ 都在直线 $y=\frac{3}{4}x-\frac{7}{3}$ 上，该直线到 $G$ 的距离恰为 $\frac{2}{3}$，与圆相切。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(文)） 如图，已知圆 $G:(x-2{)}^2+y^2=r^2$ 是椭圆 $\frac{x^2}{16}+y^2=1$ 的内接 $△ABC$ 的内切圆，其中 $A$ 为椭圆的左顶点.

(1) 求圆 $G$ 的半径 $r$；

(2) 过点 $M(0,1)$ 作圆 $G$ 的两条切线交椭圆于 $E$，$F$ 两点，证明：直线 $EF$ 与圆 $G$ 相切.

🔍【思路分析】

破题导航

1. (1) 椭圆关于 $x$ 轴对称，内切圆圆心 $G(2,0)$ 在对称轴上，可设 $B(x_0,y_0)$，$C(x_0,-y_0)$（$y_0>0$，$x_0>2$）。
2. 内切圆半径 $r=\frac{2S_{△ABC}}{|AB|+|BC|+|CA|}=\frac{y_0(x_0+4)}{\sqrt{(x_0+4{)}^2+y_0^2}+y_0}$。
3. 代入 $y_0^2=1-\frac{x_0^2}{16}$，令 $r=\frac{2}{3}$ 侧推化简得 $(3x_0-8)(3x_0+4)(x_0+4{)}^2=0$，$x_0=\frac{8}{3}$，$r=\frac{2}{3}$。
4. (2) $M(0,1)$ 在椭圆上，切线 $y=kx+1$ 与圆相切给出 $32k^2+36k+5=0$。
5. 切线与椭圆的第二个交点横坐标 $x=-\frac{32k}{16k^2+1}$，利用 $32k^2=-36k-5$ 化简后可验证 $E$，$F$ 都满足 $y=\frac{3}{4}x-\frac{7}{3}$。
6. $G(2,0)$ 到该直线的距离 $=\frac{|18-28|}{15}=\frac{2}{3}=r$，相切。

✅【答案】

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(1) $r=\frac{2}{3}$；(2) 证明见解析，直线 $EF:y=\frac{3}{4}x-\frac{7}{3}$ 与圆 $G$ 相切

✍【详细解析】

Abstract

(1) 椭圆与圆 $G$ 都关于 $x$ 轴对称，$A(-4,0)$ 在 $x$ 轴上，故内切圆同时切 $AB$ 与 $AC$， 可设 $B(x_0,y_0)$，$C(x_0,-y_0)$（$y_0>0$）。圆心 $G(2,0)$ 在三角形内部，故 $x_0>2$。 由 $B$ 在椭圆上，$y_0^2=1-\frac{x_0^2}{16}$。 三角形面积 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}\cdot 2y_0\cdot (x_0+4)=y_0(x_0+4)$， $|AB|=|AC|=\sqrt{(x_0+4{)}^2+y_0^2}$，$|BC|=2y_0$。 由内切圆半径公式 $r=\frac{2S}{|AB|+|BC|+|CA|}$，得 $r=\frac{y_0(x_0+4)}{\sqrt{(x_0+4{)}^2+y_0^2}+y_0}$。 将 $y_0^2=1-\frac{x_0^2}{16}$ 代入并化简（分子分母同乘 $4$）： $r=\frac{\sqrt{16-x_0^2}(x_0+4)}{\sqrt{15x_0^2+128x_0+272}+\sqrt{16-x_0^2}}$。 令 $r=\frac{2}{3}$ 方向整理，等价于 $(16-x_0^2)(3x_0+10{)}^2=4(15x_0^2+128x_0+272)$， 展开整理得 $9x_0^4+60x_0^3+16x_0^2-448x_0-512=0$， 即 $(3x_0-8)(3x_0+4)(x_0+4{)}^2=0$。 由 $x_0>2$ 且 $-4<x_0<4$，得 $x_0=\frac{8}{3}$，所以 $r=x_0-2=\frac{2}{3}$。 （此时 $B\left(\frac{8}{3},\frac{\sqrt{5}}{3}\right)$，$C\left(\frac{8}{3},-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)$，$BC$ 到 $G$ 的距离为 $\frac{8}{3}-2=\frac{2}{3}$，$AB$ 到 $G$ 的距离亦为 $\frac{2}{3}$，验证成立。） (2) 点 $M(0,1)$ 在椭圆上。过 $M$ 的直线 $y=kx+1$ 与圆 $G$ 相切， 须 $\frac{|2k+1|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{2}{3}$，即 $(2k+1{)}^2=\frac{4}{9}(k^2+1)$， 整理得 $32k^2+36k+5=0$，两切线斜率 $k_1$，$k_2$ 满足 $k_1+k_2=-\frac{9}{8}$，$k_1{k}_2=\frac{5}{32}$。 切线 $y=kx+1$ 与椭圆 $\frac{x^2}{16}+(kx+1{)}^2=1$ 联立： $x\left[\left(\frac{1}{16}+k^2\right)x+2k\right]=0$，$x=0$ 对应点 $M$，另一交点横坐标为 $x=-\frac{32k}{16k^2+1}$。 由 $32k^2=-36k-5$ 得 $16k^2+1=\frac{-36k-3}{2}$，故 $x=\frac{64k}{3(12k+1)}$， 相应纵坐标 $y=1+kx=\frac{-36k-7}{3(12k+1)}$。 直接验证：$\frac{3}{4}x-\frac{7}{3}=\frac{16k}{12k+1}-\frac{7}{3}=\frac{48k-7(12k+1)}{3(12k+1)}=\frac{-36k-7}{3(12k+1)}=y$。 所以两条切线与椭圆的第二交点 $E$，$F$ 都在直线 $y=\frac{3}{4}x-\frac{7}{3}$ 上，即直线 $EF$ 的方程为 $y=\frac{3}{4}x-\frac{7}{3}$，亦即 $9x-12y-28=0$。 圆心 $G(2,0)$ 到该直线的距离为 $\frac{|9\times 2-12\times 0-28|}{\sqrt{9^2+(-12{)}^2}}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}=r$。 所以直线 $EF$ 与圆 $G$ 相切。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆与内切圆

核心方法：面积法半径公式 + 切线参数化的第二交点

避坑指南：$r=\frac{2S}{\text{周长}}$ 代入椭圆约束后得到四次方程，恰能分解为 $(3x_0-8)(3x_0+4)(x_0+4{)}^2$；第 (2) 问把 $E$，$F$ 的坐标都表示成斜率 $k$ 的函数，再验证共线与距离。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：内切圆半径的面积公式 $r=2S/C$ 在解析几何中同样好用。

结论推广：对称图形先设对称点，把未知数压到最少。

方法推广：验证直线与圆相切只需圆心到直线距离等于半径，不必找切点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略
• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练 (Links)

• 2009-大纲卷II文-22 解-椭圆存在点与直线
• 2009-新课标卷文-20 解-椭圆方程与相关点轨迹
• 2009-辽宁卷文-22 解-椭圆方程与斜率定值
• 2009-上海卷文-12 填-椭圆焦点三角形面积