2008-山东卷理-22 解-几何证明

本题导读

本题考查抛物线的切线与对应性质、韦达定理及弦长公式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年山东卷(理)） 如图，设抛物线方程为 $x^2=2py(p>0)$，$M$ 为直线 $y=-2p$ 上任意一点，过 $M$ 引抛物线的切线，切点分别为 $A,B$.

(1) 求证：$A,M,B$ 三点的横坐标成等差数列；

(2) 已知当 $M$ 点的坐标为 $(2,-2p)$ 时，$|AB|=4\sqrt{10}$，求此时抛物线的方程；

(3) 是否存在点 $M$，使得点 $C$ 关于直线 $AB$ 的对称点 $D$ 在抛物线 $x^2=2py(p>0)$ 上，其中，点 $C$ 满足 $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ ($O$ 为坐标原点).若存在，求出所有适合题意的点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 第一步逻辑（第1问）：设出切点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 及 $M(x_0,-2p)$。利用导数或判别式求出过切点的切线方程，由于两切线均过 $M$ 点，将其坐标代入可构造出关于切点横坐标 $x$ 的一元二次方程，利用韦达定理即可证明两根平均数等于 $x_0$。
2. 第二步逻辑（第2问）：当 $x_0=2$ 时，代入第一问的方程求出 $x_1+x_2$ 与 $x_1{x}_2$。写出弦 $AB$ 的直线方程获取斜率 $k$，利用弦长公式 $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$ 建立关于 $p$ 的方程求解。
3. 第三步逻辑（第3问）：由向量和关系写出 $C$ 点坐标，利用点关于直线的对称公式，求出对称点 $D$ 的坐标表达式。将 $D$ 坐标代入抛物线方程中，化简并求解关于 $x_0$ 的方程，从而确定点 $M$ 是否存在。

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存在满足题意的点 $M$，其坐标为 $(0,-2p)$

✍【详细解析】

Abstract

解：(1) 证明：设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，其中 $y_1=\frac{x_1^2}{2p},y_2=\frac{x_2^2}{2p}$。设 $M(x_0,-2p)$。 由 $y=\frac{x^2}{2p}$ 求导得 $y^{\prime }=\frac{x}{p}$，故过点 $A$ 的切线方程为： $y-y_1=\frac{x_1}{p}(x-x_1)⟹x_{1}x=p(y+y_1)$ 由于切线过点 $M(x_0,-2p)$，代入得 $x_1{x}_0=p\left(-2p+\frac{x_1^2}{2p}\right)$，化简得： $x_1^2-2x_0{x}_1-4p^2=0$ 同理，过点 $B$ 的切线也过 $M$，故 $x_2$ 亦满足上式。 因此 $x_1,x_2$ 是方程 $x^2-2x_{0}x-4p^2=0$ 的两个不同实根。 由韦达定理得：$x_1+x_2=2x_0$，即 $x_0=\frac{x_1+x_2}{2}$。 故 $A,M,B$ 三点的横坐标成等差数列。

(2) 当 $M$ 坐标为 $(2,-2p)$ 时，$x_0=2$，此时方程为 $x^2-4x-4p^2=0$。 有 $x_1+x_2=4$，$x_1{x}_2=-4p^2$。 此时，直线 $AB$（即点 $M$ 对应的切点弦）的方程为 $x_{0}x=p(y-2p)⟹2x=p(y-2p)$， 改写为斜截式：$y=\frac{2}{p}x+2p$，其斜率 $k=\frac{2}{p}$。 由弦长公式得： $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+\frac{4}{p^2}}\cdot \sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}$ $|AB|=\sqrt{\frac{p^2+4}{p^2}}\cdot \sqrt{16+16p^2}=\frac{4}{p}\sqrt{(p^2+4)(p^2+1)}$ 已知 $|AB|=4\sqrt{10}$，所以 $\frac{4}{p}\sqrt{(p^2+4)(p^2+1)}=4\sqrt{10}$。 两边平方并去分母得：$(p^2+4)(p^2+1)=10p^2⟹p^4-5p^2+4=0$。 解得 $p^2=1$ 或 $p^2=4$。由于 $p>0$，所以 $p=1$ 或 $p=2$。 故所求抛物线方程为 $x^2=2y$ 或 $x^2=4y$。

(3) 设存在满足题意的点 $M(x_0,-2p)$。 由 $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ 得 $C$ 点坐标为 $(x_1+x_2,y_1+y_2)$。 由 (1) 知 $x_1+x_2=2x_0$，且 $y_1+y_2=\frac{x_1^2+x_2^2}{2p}=\frac{(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2}{2p}=\frac{4x_0^2-2(-4p^2)}{2p}=\frac{2x_0^2}{p}+4p$。 故 $C\left(2x_0,\frac{2x_0^2}{p}+4p\right)$。 直线 $AB$ 的方程为：$x_{0}x-py+2p^2=0$。 设点 $C$ 到直线 $AB$ 的代数距离对应的系数项为 $N=x_0{x}_C-p{y}_C+2p^2$，代入 $C$ 点坐标得： $N=x_0(2x_0)-p\left(\frac{2x_0^2}{p}+4p\right)+2p^2=2x_0^2-2x_0^2-4p^2+2p^2=-2p^2$ 根据点关于直线的对称点公式，$D(x_D,y_D)$ 的坐标为： $x_D=x_C-\frac{2x_0\cdot N}{x_0^2+p^2}=2x_0-\frac{2x_0(-2p^2)}{x_0^2+p^2}=\frac{2x_0(x_0^2+3p^2)}{x_0^2+p^2}$ $y_D=y_C-\frac{-2p\cdot N}{x_0^2+p^2}=\left(\frac{2x_0^2}{p}+4p\right)+\frac{2p(-2p^2)}{x_0^2+p^2}=\frac{2x_0^2(x_0^2+3p^2)}{p(x_0^2+p^2)}$ 若 $D$ 在抛物线 $x^2=2py$ 上，则满足 $x_D^2=2p{y}_D$，代入得： ${\left[\frac{2x_0(x_0^2+3p^2)}{x_0^2+p^2}\right]}^2=2p\cdot \frac{2x_0^2(x_0^2+3p^2)}{p(x_0^2+p^2)}$ $\frac{4x_0^2(x_0^2+3p^2{)}^2}{(x_0^2+p^2{)}^2}=\frac{4x_0^2(x_0^2+3p^2)}{x_0^2+p^2}$ ① 当 $x_0=0$ 时，方程显然成立，此时 $M$ 点坐标为 $(0,-2p)$； ② 当 $x_0\ne 0$ 时，两边同除以 $\frac{4x_0^2(x_0^2+3p^2)}{(x_0^2+p^2{)}^2}$，得： $x_0^2+3p^2=x_0^2+p^2⟹2p^2=0$ 这与 $p>0$ 矛盾，此时方程无解。 综上所述，存在满足题意的点 $M$，其坐标为 $(0,-2p)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥曲线的切线弦（极线）方程构造、弦长公式的应用、点关于斜直线对称坐标的整体化求解。
2. 核心方法：利用韦达定理建立切点与外点横坐标的内在代数纽带；在解决复杂的对称点坐标时，引入中间常数 $N=x_0{x}_C-p{y}_C+2p^2$ 能实现极高效率的化简。
3. 避坑指南：第(3)问中求得 $D$ 的坐标结构非常繁琐，若直接通分硬算极易因计算量过大而放弃。注意到 $N=-2p^2$ 是与 $x_0$ 无关的常数，这是攻克本题计算量的战略突破口。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题第(1)问和第(2)问的本质背景是高等解析几何中的“极点与极线”理论。准线（或特定平行线）上的点对抛物线所作的两条切线形成的切点弦具有调和分割和对称投影的优美几何性质。
2. 结论推广：对于任意抛物线 $x^2=2py$，若动点 $M$ 在直线 $y=-2p$ 上运动，其切点弦 $AB$ 恒过定点 $(0,2p)$。此外，以 $AB$ 为直径的圆与准线以及直线 $y=-2p$ 的交点位置表现出离散齐次性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-江西卷文-19 解-抛物线焦点弦与向量
• 2011-湖南卷文-21 解-抛物线轨迹与向量最值
• 2012-江西卷文-20 解-向量轨迹抛物线切线