2009-上海卷理-10 填-极坐标

本题导读

本题考查极坐标与直角坐标的互化、三角形面积的几何计算，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(理)） 在极坐标系中，由三条直线 $\theta =0$，$\theta =\frac{\pi }{3}$，$\rho \cos \theta +\rho \sin \theta =1$ 围成图形的面积是$\underline{}$．

🔍【思路分析】

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1. 坐标系转换：利用 $\Delta$ 关系 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$，将第三条直线转化为直角坐标系下的标准直线方程。

2. 确定交点与边界：将前两条射线 $\theta =0$ 和 $\theta =\frac{\pi }{3}$ 转化为直角坐标系中的射线，求出它们与直线的交点坐标。

3. 计算面积：利用三角形的底和高公式直接求出面积。

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$\frac{3-\sqrt{3}}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

在直角坐标系中，以极点为原点，极轴为 $x$ 轴正半轴。 由 $\rho \cos \theta =x$ 和 $\rho \sin \theta =y$，第三条直线方程可化为： $x+y=1⟹y=-x+1$ 直线 $\theta =0$ 即为 $x$ 轴正半轴（$y=0,x\ge 0$）； 直线 $\theta =\frac{\pi }{3}$ 即为射线 $y=\sqrt{3}x(x\ge 0)$。

求三条直线的交点：

1. 射线 $y=0$ 与 $x+y=1$ 的交点为 $A(1,0)$；
2. 射线 $y=\sqrt{3}x$ 与 $x+y=1$ 联立： $x+\sqrt{3}x=1⟹x=\frac{1}{\sqrt{3}+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$ 代入求得交点 $B$ 的纵坐标为 $y_B=\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}-1}{2}=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$；
3. 两射线交于原点 $O(0,0)$。

围成的图形是以 $OA$ 为底边的 $△OAB$： 底边长 $|OA|=1$，高 $h=y_B=\frac{3-\sqrt{3}}{2}$。 则所求图形面积为： $S=\frac{1}{2}\times |OA|\times h=\frac{1}{2}\times 1\times \frac{3-\sqrt{3}}{2}=\frac{3-\sqrt{3}}{4}$ 故填 $\frac{3-\sqrt{3}}{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：极坐标公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 的代换。

2. 核心方法：数形结合，将极坐标系问题完全等价视化为直角坐标系下的常规解析几何图形。

3. 避坑指南：注意 $\theta =0$ 和 $\theta =\frac{\pi }{3}$ 在极坐标中代表的是从原点出发的“射线”，虽然本题交点均在第一象限不影响结果，但严谨性上应明确自变量的非负限制。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于极坐标与参数方程选考模块（上海卷为必填项）的基础常规题，旨在考查跨坐标系的代数转换能力。

2. 结论推广: 由射线 $\theta =\alpha ,\theta =\beta$ 与直线 $x+y=1$ 围成的三角形面积，亦可直接在极坐标下利用定积分或正弦定理的形式进行面积重构。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-17 单-三角方程解集
• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-上海卷理-17 单-三角