2009-辽宁卷理-22 解-极坐标

本题导读

本题为2009年辽宁高考数学理科第22题（三选一选考题），分别提供了【A】几何证明选讲、【B】坐标系与参数方程、【C】不等式选讲三个专题的题目。以下将针对这三个选考专题逐一进行极其极简、严谨的标准化解析。

专题 【A】 几何证明选讲

📌【题干】

Question

（2009年辽宁卷(理)） 设函数 $f(x)=|x-1|+|x-a|$.

(1) 若 $a=-1$，解不等式 $f(x)⩾3$；

(2) 如果 $\forall x\in \mathbf{R}$，$f(x)⩾2$，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：代入 $a=-1$，利用零点分段法或绝对值几何意义去掉绝对值号求解。
2. 第二问：利用绝对值三角不等式 $|x-1|+|x-a|⩾|(x-1)-(x-a)|=|a-1|$ 得到函数 $f(x)$ 的最小值。要想使 $f(x)⩾2$ 恒成立，只需最小值 $|a-1|⩾2$ 即可。

点击查看答案

不等式的解集为 $\left(-\infty ,-\frac{3}{2}\right]\cup \left[\frac{3}{2},+\infty \right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 当 $a=-1$ 时，不等式为 $|x-1|+|x+1|⩾3$。 ① 当 $x<-1$ 时，原不等式化为 $-(x-1)-(x+1)⩾3⟹-2x⩾3⟹x⩽-\frac{3}{2}$； ② 当 $-1⩽x⩽1$ 时，原不等式化为 $-(x-1)+(x+1)⩾3⟹2⩾3$ （无解）； ③ 当 $x>1$ 时，原不等式化为 $(x-1)+(x+1)⩾3⟹2x⩾3⟹x⩾\frac{3}{2}$。 综上所述，不等式的解集为 $\left(-\infty ,-\frac{3}{2}\right]\cup \left[\frac{3}{2},+\infty \right)$。

(2) 解： 因为 $f(x)=|x-1|+|x-a|⩾|(x-1)-(x-a)|=|a-1|$ 恒成立。 所以函数 $f(x)$ 的最小值为 $|a-1|$。 要使 $\forall x\in \mathbf{R}$，都有 $f(x)⩾2$， 只需最小满足： $|a-1|⩾2$ 解得：$a-1⩾2$ 或 $a-1⩽-2$。 即 $a⩾3$ 或 $a⩽-1$。 所以 $a$ 的取值范围为 $(-\infty ,-1]\cup [3,+\infty )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式求最值。
2. 核心方法：零点分段讨论，绝对值不等式放缩。
3. 避坑指南：第(2)问求 $a$ 的范围时，去绝对值符号 $|a-1|⩾2$ 对应的是“两边开”区间而非“中间”区间，容易因为粗心写错不等号方向。

---

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考理科选考题中三大经典板块的考查，属于考纲要求的基础中档题型。
2. 结论推广:

• 专题A：圆内接多面角外接圆性质是平面几何解析的常备方法；
• 专题B：通过辅助角公式合并 $\rho (A\cos \theta +B\sin \theta )=C$ 是极坐标化直角坐标的基本解题路径；
• 专题C：函数 $y=|x-m|+|x-n|$ 的最小值为 $|m-n|$，当且仅当 $x$ 夹在 $m$ 和 $n$ 之间时取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷理-15 填-三角形不等式
• 2013-辽宁卷文-21 解-三角不等式与恒成立
• 2014-新课标II卷理-24 解-绝对值三角不等式