2011-湖北卷文-19 解-分段函数建模最值

本题导读

本题考查分段函数建模，以及二次函数最值。

📌【题干】

Question

（2011年湖北卷(文)） 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况. 在一般情况下，大桥上的车流速度 $v$（单位：千米/小时）是车流密度 $x$（单位：辆/千米）的函数. 当桥上的车流密度达到 $200$ 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 $0$；当车流密度不超过 $20$ 辆/千米时，车流速度为 $60$ 千米/小时. 研究表明：当 $20⩽x⩽200$ 时，车流速度 $v$ 是车流密度 $x$ 的一次函数.

(1)当 $0⩽x⩽200$ 时，求函数 $v(x)$ 的表达式；

(2)当车流密度 $x$ 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）$f(x)=x\cdot v(x)$ 可以达到最大，并求出最大值.（精确到 $1$ 辆/小时）

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：两点定一次函数得分段 $v(x)$
2. 步骤2：$f(x)=xv(x)$ 分段求最大并比较

✅【答案】

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(1)$v(x)=\{\begin{array}{ll}60,& 0⩽x⩽20,\\ \frac{200-x}{3},& 20<x⩽200;\end{array}$

(2)当 $x=100$ 时车流量最大，最大值约为 $3333$ 辆/小时

✍【详细解析】

Abstract

（1）由题设 $v(0)=v(20)=60$，$v(200)=0$，且 $20⩽x⩽200$ 时 $v$ 为一次函数，设 $v=kx+b$。

过 $(20,60)$ 与 $(200,0)$：$k=\frac{0-60}{200-20}=-\frac{1}{3}$，$b=60+\frac{20}{3}=\frac{200}{3}$。

故 $v(x)=\{\begin{array}{ll}60,& 0⩽x⩽20,\\ \frac{200-x}{3},& 20<x⩽200.\end{array}$

（2）$f(x)=xv(x)$。

当 $0⩽x⩽20$ 时，$f(x)=60x$，最大值 $f(20)=1200$。

当 $20<x⩽200$ 时，$f(x)=\frac{x(200-x)}{3}=\frac{-(x-100{)}^2+10000}{3}$，在 $x=100$ 处取最大值 $\frac{10000}{3}\approx 3333.3$。

比较两段：$\frac{10000}{3}>1200$，故当车流密度 $x=100$ 辆/千米时，车流量最大，约为 $3333$ 辆/小时。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数建模；待定系数法；二次函数配方法求最值

核心方法：“两个定值 + 一次函数”两点式定 $v$；$f=x\cdot v$ 展开成关于 $x$ 的二次函数配方取顶点

避坑指南：两段都要算再比较——$[0,20]$ 上 $f=60x$ 递增但峰值只有 $1200$，真正的最大在第二段的对称轴 $x=100$ 处；$f(100)=\frac{100\times 100}{3}$ 是”精确到 $1$” 的四舍五入（$3333.3\to 3333$）；分段点 $x=20$ 归属哪段不影响函数值（两段在 $x=20$ 处都等于 $60$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数应用建模题与 2012-上海卷文-21、2012-新课标卷文-18、2013-新课标I卷文-12 同族。

结论推广：推广：$f(x)=\frac{x(200-x)}{3}$ 的峰值在密度中点 $x=\frac{200}{2}=100$ 处——“流量 = 密度 × 速度”型模型的最大流量恒出现在线性减速段的对称轴位置，与斜率无关（斜率只影响峰值大小 $\frac{v_0{x}_{\max }}{2}\cdot \frac{1}{2}$ 型）。

方法推广：函数应用题：先翻译题设为分段解析式（分段点即”速度开始下降”处），再逐段求最值比较；注意题目要求的精确度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)

• 2012-上海卷文-21 解-抛物线应用建模最值
• 2012-新课标卷文-18 解-利润模型与频率估计
• 2013-新课标I卷文-12 单-分段函数恒成立