2008-江西卷文-07 单-椭圆轨迹离心率范围

本题导读

直角顶点轨迹是以 $F_1{F}_2$ 为直径的圆；“总在椭圆内部”即整个圆含于椭圆，只需检验圆上最高点 $(0,\pm c)$ 与椭圆的关系.

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(文)） 已知 $F_1$、$F_2$ 是椭圆的两个焦点，满足 $\overrightarrow{M{F}_1}\cdot \overrightarrow{M{F}_2}=0$ 的点 $M$ 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()

A. $(0,1)$　　　　B. $\left(0,\frac{1}{2}\right]$　　　　C. $\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$　　　　D. $\left[\frac{\sqrt{2}}{2},1\right)$

🔍【思路分析】

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圆 $x^2+y^2=c^2$ 含于椭圆 $\iff$ 点 $(0,c)$ 在椭圆内：$\frac{c^2}{b^2}<1\Rightarrow c<b\Rightarrow 2c^2<a^2\Rightarrow e<\frac{\sqrt{2}}{2}$.

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设椭圆方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），焦距 $2c$. 由 $\overrightarrow{M{F}_1}\cdot \overrightarrow{M{F}_2}=0$ 知 $M{F}_1\perp M{F}_2$，点 $M$ 的轨迹是以 $F_1{F}_2$ 为直径的圆：$x^2+y^2=c^2$. “点 $M$ 总在椭圆内部”即该圆整圆含于椭圆内部. 对圆上点 $(c\cos \theta ,c\sin \theta )$：$\frac{c^2{\cos }^2\theta }{a^2}+\frac{c^2{\sin }^2\theta }{b^2}⩽\max \left(\frac{c^2}{a^2},\frac{c^2}{b^2}\right)$. $\frac{c^2}{a^2}<1$ 恒成立；需 $\frac{c^2}{b^2}<1$，即 $c<b$，得 $c^2<a^2-c^2$，$2c^2<a^2$，$e<\frac{\sqrt{2}}{2}$. 又 $0<e<1$，故 $e\in \left(0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆焦点与轨迹离心率范围

核心方法：由动点满足的关系消参得轨迹方程，再由离心率定义求范围

避坑指南：椭圆离心率 $$\begin{gathered} e= \\ fracca \\ in(0,1) \end{gathered}$$，求范围时抓住这个天然界限；轨迹方程要确认是标准型还是需配方

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆轨迹与离心率范围（2009 安徽文 6、2013 福建文 9）

结论推广：条件改为 $|P{F}_1|=\lambda |P{F}_2|$ 时 $e⩽\frac{\lambda +1}{\lambda -1}$，圆锥曲线定义题通用

方法推广：定义 + 离心率 $e=\frac{c}{a}$ 是处理焦点轨迹题的不二法门

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-06 单-椭圆离心率
• 2009-重庆卷文-15 填-椭圆离心率范围
• 2010-四川卷文-10 单-椭圆离心率范围
• 2009-新课标卷文-20 解-椭圆方程与相关点轨迹