2010-四川卷文-10 单-椭圆离心率范围

本题导读

考查椭圆离心率。垂直平分线过 $F$ 即 $FA=FP$；算得 $FA=\frac{a(1-e^2)}{e}$，而焦半径 $FP\in [a(1-e),a(1+e)]$，右侧不等式化简得 $e⩾\frac{1}{2}$，选 D。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(文)） 椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的右焦点为 $F$，其右准线与 $x$ 轴的交点为 $A$，在椭圆上存在点 $P$ 满足线段 $AP$ 的垂直平分线过点 $F$，则椭圆离心率的取值范围是()

A. $\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$　　　　B. $\left(0,\frac{1}{2}\right]$　　　　C. $\left[\sqrt{2}-1,1\right)$　　　　D. $\left[\frac{1}{2},1\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 线段 $AP$ 的垂直平分线过 $F$ $⟺$ $FA=FP$。
2. $A\left(\frac{a^2}{c},0\right)$，$F(c,0)$，故 $FA=\frac{a^2}{c}-c=\frac{b^2}{c}=\frac{a(1-e^2)}{e}$。
3. 椭圆上点 $P$ 的焦半径 $FP\in [a-c,a+c]=[a(1-e),a(1+e)]$。
4. 存在 $P$ $⟺$ $FA$ 落在该区间内，两个不等式分别化简，得 $e⩾\frac{1}{2}$。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

由 $e=\frac{c}{a}$（$0<e<1$），右焦点 $F(c,0)$，右准线与 $x$ 轴的交点 $A\left(\frac{a^2}{c},0\right)$，则 $FA=\frac{a^2}{c}-c=\frac{a^2-c^2}{c}=\frac{b^2}{c}=\frac{a(1-e^2)}{e}.$ 线段 $AP$ 的垂直平分线过点 $F$ $⟺$ $FA=FP$. 椭圆上点 $P$ 到右焦点的距离（焦半径）的取值范围为 $[a-c,a+c]=[a(1-e),a(1+e)].$ 故存在满足条件的点 $P$ $⟺$ $a(1-e)⩽\frac{a(1-e^2)}{e}⩽a(1+e)$. 左侧：$\frac{1-e^2}{e}⩾1-e⟺\frac{1+e}{e}⩾1$，对 $0<e<1$ 恒成立； 右侧：$\frac{1-e^2}{e}⩽1+e⟺1-e^2⩽e+e^2⟺(2e-1)(e+1)⩾0$，即 $e⩾\frac{1}{2}$. 所以离心率的取值范围为 $\left[\frac{1}{2},1\right)$. 故选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆离心率与焦半径

核心方法：$FA=\frac{a(1-e^2)}{e}\in [a(1-e),a(1+e)]⟺e⩾\frac{1}{2}$

避坑指南：“垂直平分线过 $F$“翻译成 $FA=FP$ 是全部突破口；$FP$ 的范围是焦半径范围 $[a-c,a+c]$；两个不等式要分别化简，左侧恒成立不必硬解；右侧化简时先去分母再因式分解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：以垂直平分线为载体考离心率范围，是椭圆与距离结构的综合命题，属椭圆小题中较难的一类。

结论推广：焦半径范围 $[a-c,a+c]$；$|FA|=\frac{b^2}{c}$（焦点到对应准线与轴交点的距离）。

方法推广：几何条件转化为等量关系，再化为参数范围；存在性问题等价于”目标值落在某连续取值区间内”。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2009-浙江卷文-06 单-椭圆离心率
• 2009-重庆卷文-15 填-椭圆离心率范围
• 2011-新课标卷文-04 单-椭圆离心率
• 2011-天津卷文-18 解-椭圆离心率与弦长