2008-江西卷理-01 单-三角函数

本题导读

本题考查复数的几何意义以及三角函数在不同象限的符号判定。通过将弧度制下的三角函数值转化为确切的正负号，确定复数在复平面内对应点的象限。

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(理)） 在复平面内，复数 $z=\sin 2+\mathrm{i}\cos 2$ 对应的点位于 ()

A. 第一象限　　　B. 第二象限　　　C. 第三象限　　　D. 第四象限

🔍【思路分析】

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1. 明确复数 $z=x+y\mathrm{i}$ 在复平面内对应的点坐标为 $(x,y)$。
2. 估算 2 弧度角所在的象限，判定其正弦值 $\sin 2$ 和余弦值 $\cos 2$ 的正负号。
3. 结合点 $(\sin 2,\cos 2)$ 的横纵坐标符号确定其所在的象限。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\frac{\pi }{2}<2<\pi$（由于 $\frac{\pi }{2}\approx 1.57,\pi \approx 3.14$）， 所以 2 弧度角是第二象限角。 根据三角函数在各象限的符号特征可知： $\sin 2>0,\cos 2<0$

复数 $z=\sin 2+\mathrm{i}\cos 2$ 在复平面内对应的点为 $P(\sin 2,\cos 2)$。 因为该点的横坐标 $\sin 2>0$（正数），纵坐标 $\cos 2<0$（负数）， 根据直角坐标系中各个象限的符号特征（横正纵负为第四象限）， 点 $P$ 位于第四象限。

正确答案为：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数与复平面点的一一对应关系；特殊弧度角（如2弧度）的范围估算。
2. 核心方法：象限符号分析法。
3. 避坑指南：本题是一个极具欺骗性的陷阱题。很多考生容易形成思维定势，一看到 $\cos 2+\mathrm{i}\sin 2$ 或类似的式子就联想到第二象限，或者误以为实部一定是余弦、虚部一定是正弦。必须严格按照复数实部为横坐标、虚部为纵坐标的基本定义来判定。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是对复数概念与三角函数符号基础知识点的精妙交汇，侧重考查基础概念的扎实程度。
2. 结论推广: 对于复数 $z=\sin \theta +\mathrm{i}\cos \theta$，其对应点在复平面内的轨迹为单位圆，其所在的象限与角 $\theta$ 本身所在的象限满足关于直线 $y=x$ 的对称映射关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷理-06 填-三角函数
• 2009-四川卷理-04 单-三角函数
• 2009-大纲卷II文-04 单-同角三角函数