2008-江西卷理-13 填-向量

本题导读

本题考查平面向量的坐标线性运算与数量积计算。核心意图是通过线段三等分点的代数比例关系确定对应点的坐标，进而直接通过坐标数量积公式求解。

📌【题干】

Question

（2008年江西卷(理)） 直角坐标平面内三点 $A(1,2),B(3,-2),C(9,7)$，若 $E,F$ 为线段 $BC$ 的三等分点，则 $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 计算向量 $\overrightarrow{BC}$ 的坐标，依据三等分点性质求出 $\overrightarrow{BE}$ 与 $\overrightarrow{BF}$ 的具体坐标。
2. 结合起点 $B$ 的坐标算出点 $E$ 和点 $F$ 的直角坐标。
3. 求出向量 $\overrightarrow{AE}$ 与 $\overrightarrow{AF}$ 的坐标表示，利用数量积公式 $\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$ 直接求值。

✅【答案】

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$22$

✍【详细解析】

Abstract

由已知三点坐标可得： $\overrightarrow{BC}=C-B=(9-3,7-(-2))=(6,9)$

因为 $E,F$ 是线段 $BC$ 的三等分点（按从 $B$ 到 $C$ 的顺序），则： $\overrightarrow{BE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}=(2,3)⟹E=B+(2,3)=(3+2,-2+3)=(5,1)$ $\overrightarrow{BF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=(4,6)⟹F=B+(4,6)=(3+4,-2+6)=(7,4)$

进而求出以 $A(1,2)$ 为起点的两个向量坐标： $\overrightarrow{AE}=E-A=(5-1,1-2)=(4,-1)$ $\overrightarrow{AF}=F-A=(7-1,4-2)=(6,2)$

计算两向量的数量积： $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{AF}=4\times 6+(-1)\times 2=24-2=22$

正确答案为：22

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量坐标的减法与数乘运算；数量积的坐标表示公式。
2. 核心方法：坐标解析法。
3. 避坑指南：计算点 $E,F$ 的绝对坐标时，注意不要直接用原点去加 $\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$，必须以基准点 $B$ 的坐标为起点进行平移。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是平面向量与解析几何交汇的传统基础运算题，源于教材关于定比分点坐标公式的直接应用。
2. 结论推广: 设 $△ABC$ 边 $BC$ 的 $n$ 等分点自左向右依次为 $P_1,P_2,\dots ,P_{n-1}$，则关于顶点 $A$ 的相邻两向量之和或乘积可以完全通过 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ 的基底代数式进行线性重构表示。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-20 解-向量平行垂直解三角形
• 2009-北京卷理-02 单-向量
• 2009-北京卷文-02 单-向量共线