2008-浙江卷理-13 填-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理、三角恒等变换与两角和公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(理)） 在 $\Delta ABC$ 中，角 $A、B、C$ 所对的边分别为 $a、b、c$，若 $(\sqrt{3}b-c)\cos A=a\cos C$，则 $\cos A=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用正弦定理 $a=2R\sin A,b=2R\sin B,c=2R\sin C$ 进行边化角，将已知等式转化为纯三角函数式。
2. 展开左侧并移项，利用两角和的正弦公式将右侧收拢为 $\sin (A+C)$。
3. 利用三角形内角和性质 $\sin (A+C)=\sin B\ne 0$ 约分消项，直接解出 $\cos A$。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

根据正弦定理，已知等式 $(\sqrt{3}b-c)\cos A=a\cos C$ 可转化为： $(\sqrt{3}\sin B-\sin C)\cos A=\sin A\cos C$ 展开得： $\sqrt{3}\sin B\cos A-\sin C\cos A=\sin A\cos C$ 移项整理： $\sqrt{3}\sin B\cos A=\sin A\cos C+\cos A\sin C$ 利用两角和的正弦公式，右端可化简为： $\sqrt{3}\sin B\cos A=\sin (A+C)$ 在 $\Delta ABC$ 中， $A+B+C=\pi ⟹A+C=\pi -B$。 所以 $\sin (A+C)=\sin (\pi -B)=\sin B$。 代入得： $\sqrt{3}\sin B\cos A=\sin B$ 因为在三角形中，内角 $B\in (0,\pi )$，所以 $\sin B\ne 0$。 方程两边同除以 $\sin B$ 得： $\sqrt{3}\cos A=1⟹\cos A=\frac{\sqrt{3}}{3}$

故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$。#### 💡【考点归纳与避坑指南】 [!danger]

1. 核心考点：正弦定理的结构边角转化；两角和的正弦公式；三角形内角诱导公式 $\sin (A+C)=\sin B$。
2. 核心方法：边化角法。
3. 避坑指南：化简出 $\sqrt{3}\sin B\cos A=\sin B$ 后，必须明确指出 $\sin B\ne 0$ 才可以作除法约项，以保证大题或填空逻辑的严密性。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材解三角形章节中经典的利用正弦定理进行代数结构变形的典型题目。
2. 结论推广：在任意三角形中，若满足 $X\sin B=\sin (A+C)$ 形式，均可直接降维化简为 $X=1$，是解三角形小题的常见形态。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-16 解-正弦定理解三角形
• 2009-湖北卷文-16 解-正余弦定理解三角形
• 2010-天津卷文-17 解-正弦定理与三角求值