2008-浙江卷理-18 解-面面垂直

本题导读

本题考查空间线面平行的判定定理、面面平行的判定与性质。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(理)） 如图，矩形 $ABCD$ 和梯形 $BEFC$ 所在平面互相垂直， $BE\parallel CF$, $\angle BCF=\angle CEF=90^{\circ }$, $AD=\sqrt{3},EF=2$.

(1) 求证: $AE\parallel$ 平面 $DCF$;

(2) 当 $AB$ 的长为何值时，二面角 $A-EF-C$ 的大小为 $60^{\circ }$?

🔍【思路分析】

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1. 第一问：因为 $ABCD$ 为矩形，可得 $AB\parallel CD$；又 $BE\parallel CF$，通过一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，可证得平面 $ABE\parallel$ 平面 $DCF$，从而得出 $AE\parallel$ 平面 $DCF$。
2. 第二问：首先在平面的垂直关系下，通过几何定量计算（利用 $\angle CEF=90^{\circ }$ 构成的勾股关系）求出关键线段 $BE=3,CF=4$。接着可以采用几何法：过 $B$ 作 $BH\perp EF$ 于 $H$，由三垂线定理可得 $AH\perp EF$，则 $\angle AHB$ 即为二面角 $A-EF-C$ 的平面角，在 $\text{Rt}\Delta ABH$ 中根据正切关系即可求得 $AB$ 的长。

✅【答案】

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（1）𝐴𝐸∥平面𝐷𝐶𝐹.（2）𝐴𝐵=92.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 因为四边形 $ABCD$ 是矩形，所以 $AB\parallel CD$。 又 $AB\not\subset$ 平面 $DCF$， $CD\subset$ 平面 $DCF$， 所以 $AB\parallel$ 平面 $DCF$。 同理，因为 $BE\parallel CF$，且 $BE\not\subset$ 平面 $DCF$， $CF\subset$ 平面 $DCF$， 所以 $BE\parallel$ 平面 $DCF$。 又因为 $AB\cap BE=B$，且 $AB,BE\subset$ 平面 $ABE$， 所以 平面 $ABE\parallel$ 平面 $DCF$。 又 $AE\subset$ 平面 $ABE$， 所以 $AE\parallel$ 平面 $DCF$。

(2) 解： 在梯形 $BEFC$ 中， $\angle BCF=90^{\circ }$, $BE\parallel CF$，故 $BC\perp CF,BC\perp BE$。 过 $E$ 作 $EG\perp CF$ 于 $G$，则四边形 $EBCG$ 为矩形。 由于 $ABCD$ 为矩形， $BC=AD=\sqrt{3}$，故 $EG=\sqrt{3},CG=BE$。 在 $\text{Rt}\Delta EGF$ 中， $GF=\sqrt{E{F}^2-E{G}^2}=\sqrt{2^2-(\sqrt{3}{)}^2}=1$。 设 $BE=x$，则 $CF=x+1$。 在 $\text{Rt}\Delta EBC$ 中， $C{E}^2=B{C}^2+B{E}^2=3+x^2$。 因为 $\angle CEF=90^{\circ }$，所以在 $\text{Rt}\Delta ECF$ 中，有 $C{E}^2+E{F}^2=C{F}^2$， 代入得： $(3+x^2)+2^2=(x+1{)}^2⟹7+x^2=x^2+2x+1⟹x=3$。 即 $BE=3,CF=4$。

平面角定位（几何法）： 因为平面 $ABCD\perp$ 平面 $BEFC$，平面 $ABCD\cap$ 平面 $BEFC=BC$，且 $AB\perp BC$， 所以 $AB\perp$ 平面 $BEFC$。 在平面 $BEFC$ 内，过点 $B$ 作 $BH\perp EF$ 于 $H$，连结 $AH$。 因为 $AB\perp$ 平面 $BEFC$， $EF\subset$ 平面 $BEFC$，所以 $AB\perp EF$。 又 $AB\cap BH=B$，故 $EF\perp$ 平面 $ABH⟹AH\perp EF$。 因此， $\angle AHB$ 为二面角 $A-EF-C$ 的平面角，即 $\angle AHB=60^{\circ }$。

在 $\Delta BEF$ 中， $BE=3,BC=\sqrt{3}$（即 $E$ 到 $BC$ 的距离为 3）， $\Delta BEF$ 的面积为： $S_{\Delta BEF}=\frac{1}{2}\times BE\times BC=\frac{1}{2}\times 3\times \sqrt{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。 同时， $S_{\Delta BEF}=\frac{1}{2}\times EF\times BH=\frac{1}{2}\times 2\times BH=BH$。 所以 $BH=\frac{3\sqrt{3}}{2}$。 在 $\text{Rt}\Delta ABH$ 中， $\angle ABH=90^{\circ }$， $AB=BH\cdot \tan 60^{\circ }=\frac{3\sqrt{3}}{2}\times \sqrt{3}=\frac{9}{2}$ 故当 $AB$ 的长为 $\frac{9}{2}$ 时，二面角 $A-EF-C$ 的大小为 $60^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面平行性质定理的转化应用；利用面面垂直推导线面垂直（$AB\perp$ 平面 $BEFC$）；平面图形内的隐蔽勾股组合计算。
2. 核心方法：三垂线定理作二面角平面角法。通过高线 $AB$ 与垂线 $BH$ 的垂直网格，将空间二面角精准降维到直角三角形 $\Delta ABH$ 中求解。
3. 避坑指南：第二问中容易卡在求 $BE$ 和 $CF$ 的长度上，一定要注意利用直角 $\angle CEF=90^{\circ }$ 建立方程。此外，使用几何法时必须严密证明 $AH\perp EF$，不可直接代入计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中多面体面面垂直、线面垂直以及二面角经典度量大题的综合改编，重点考查空间“立体”向平面“代数”的精准过渡。
2. 结论推广：若两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面。利用这一结论构造空间直角坐标系或寻找垂线段是解决所有面面垂直背景题的通解方案。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

（1）𝐴𝐸∥平面𝐷𝐶𝐹.（2）𝐴𝐵=92.

类题演练 (Links)

• 2010-江西卷文-20 解-面面垂直线面角二面角
• 2009-四川卷文-19 解-面面垂直二面角
• 2009-山东卷文-18 解-线面平行与面面垂直