2008-浙江卷理-19 解-古典概型

本题导读

本题考查古典概型与排列组合、超几何分布的数学期望。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2008年浙江卷(理)） 一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球. 已知从袋中任意摸出 1 个球, 得到黑球的概率是 $\frac{2}{5}$; 从袋中任意摸出 2 个球, 至少得到 1 个白球的概率是 $\frac{7}{9}$.

(1) 若袋中共有 10 个球, ① 求白球的个数; ② 从袋中任意摸出 3 个球, 记得到白球的个数为 $\xi$, 求随机变量 $\xi$ 的数学期望 $E\xi$.

(2) 求证: 从袋中任意摸出 2 个球, 至少得到 1 个黑球的概率不大于 $\frac{7}{10}$, 并指出袋中哪种颜色的球个数最少.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设袋中球的总数为 $N$，黑球、白球、红球的个数分别为 $h,b,r$。由题意得 $h=\frac{2}{5}N$。
2. 通过“至少得到 1 个白球”的对立事件“没有白球”，建立方程 $\frac{{\text{C}}_{N-b}^2}{{\text{C}}_N^2}=1-\frac{7}{9}=\frac{2}{9}$。
3. 第一问：将 $N=10$ 代入上述方程解出 $b$，进而通过超几何分布公式或性质求出 $\xi$ 的数学期望。
4. 第二问：将“至少得到 1 个黑球的概率”写成关于 $N$ 的函数表达式，利用一元分式函数的单调性确定其最大值；通过对立事件方程中各变量所占比例的估算，比较 $h,b,r$ 的大小。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解：设袋中球的总数为 $N$，黑球、白球、红球的个数分别为 $h,b,r$。 由题意知， $h=\frac{2}{5}N$，且 $N$ 必为 5 的正整数倍。 从袋中任意摸出 2 个球，没有白球的概率为 $1-\frac{7}{9}=\frac{2}{9}$，即： $\frac{{\text{C}}_{N-b}^2}{{\text{C}}_N^2}=\frac{2}{9}$

(1) ① 当 $N=10$ 时， ${\text{C}}_{10}^2=45$。 代入方程得： $\frac{{\text{C}}_{10-b}^2}{45}=\frac{2}{9}⟹{\text{C}}_{10-b}^2=10$。 因为 ${\text{C}}_5^2=10$，所以 $10-b=5⟹b=5$。 即白球的个数为 5。

② 当 $N=10$ 时，黑球 $h=\frac{2}{5}\times 10=4$ 个，白球 $b=5$ 个，则红球 $r=10-4-5=1$ 个。 随机变量 $\xi$ 的可能取值为 0, 1, 2, 3，其分布满足超几何分布 $\xi \sim H(10,3,5)$。 各取值的概率为： $P(\xi =0)=\frac{{\text{C}}_5^0{\text{C}}_5^3}{{\text{C}}_{10}^3}=\frac{10}{120}=\frac{1}{12}$ $P(\xi =1)=\frac{{\text{C}}_5^1{\text{C}}_5^2}{{\text{C}}_{10}^3}=\frac{50}{120}=\frac{5}{12}$ $P(\xi =2)=\frac{{\text{C}}_5^2{\text{C}}_5^1}{{\text{C}}_{10}^3}=\frac{50}{120}=\frac{5}{12}$ $P(\xi =3)=\frac{{\text{C}}_5^3{\text{C}}_5^0}{{\text{C}}_{10}^3}=\frac{10}{120}=\frac{1}{12}$ 故 $\xi$ 的数学期望为： $E\xi =0\times \frac{1}{12}+1\times \frac{5}{12}+2\times \frac{5}{12}+3\times \frac{1}{12}=\frac{18}{12}=\frac{3}{2}$

(2) 证明： 从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个黑球的对立事件为“没有黑球”（即全部从其余 $N-h=\frac{3}{5}N$ 个球中摸出）。 设该事件的概率为 $P_k$，则： $P_k=1-\frac{{\text{C}}_{\frac{3}{5}N}^2}{{\text{C}}_N^2}=1-\frac{\frac{3}{5}N\left(\frac{3}{5}N-1\right)}{N(N-1)}=1-\frac{3(3N-5)}{25(N-1)}=\frac{16N-10}{25N-25}$ 将分式变形为： $P_k=\frac{16(N-1)+6}{25(N-1)}=\frac{16}{25}+\frac{6}{25(N-1)}$。 由于 $N$ 是 5 的正整数倍，且由第一问可知当 $N=5$ 时无整数解，故 $N⩾10$。 因为当 $N>1$ 时，函数 $y=\frac{16}{25}+\frac{6}{25(N-1)}$ 随 $N$ 的增大而单调递减， 所以当 $N⩾5$ 时，恒有： $P_k⩽\frac{16\times 5-10}{25\times 5-25}=\frac{70}{100}=\frac{7}{10}$ 即至少得到 1 个黑球的概率不大于 $\frac{7}{10}$。

此外，由 $\frac{(N-b)(N-b-1)}{N(N-1)}=\frac{2}{9}$，且 $\frac{N-b-1}{N-1}<\frac{N-b}{N}$ (当 $b>0$ 时)， 可得 ${\left(\frac{N-b}{N}\right)}^2>\frac{2}{9}⟹\frac{N-b}{N}>\frac{\sqrt{2}}{3}\approx 0.471$。 因为 $h=0.4N$，所以 $\frac{N-b}{N}>0.4⟹N-b>h⟹b<N-h$。 从而可得 $b\approx (1-0.471)N=0.529N$， $h=0.4N$。 由此推导红球数量 $r=N-h-b\approx 0.071N$。 显见 $r<h<b$，故袋中红球的个数最少。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型组合数公式；超几何分布的期望计算；运用单调性作代数不等式放缩。
2. 核心方法：对立事件转化思想（看到“至少”优先考虑对立面）。
3. 避坑指南：第二问证明概率范围时，直接展开高次不等式较为繁琐，应将 $P_k$ 整理为形如 $A+\frac{B}{N-1}$ 的反比例函数形式，利用单调性边界代入证明，逻辑最为简捷。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中摸球试验的概率模型，通过对总数 $N$ 进行不定方程约束，考查概率与数论、函数单调性的深度交汇。
2. 结论推广：对于超几何分布 $X\sim H(N,n,M)$，其期望值公式 $EX=n\cdot \frac{M}{N}$ 独立于摸球过程的先后顺序，可直接作为大题结果验证的工具。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-11 填-组合概率对立事件
• 2009-北京卷理-07 单-排列组合
• 2009-四川卷理-11 单-排列组合