2008-湖北卷理-01 单-向量

本题导读

本题考查平面向量的坐标线性运算与数量积的代数计算，属于基础代数运算题。

📌【题干】

Question

（2008年湖北卷(理)） 设 $\mathbf{a}=(1,-2)$，$\mathbf{b}=(-3,4)$，$\mathbf{c}=(3,2)$，则 $(\mathbf{a}+2\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=$ ()

A. $(-15,12)$　　　　　　B. 0　　　　　　C. $-3$　　　　　　D. $-11$

🔍【思路分析】

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1. 先利用向量的坐标加法与数乘公式计算出复合向量 $\mathbf{a}+2\mathbf{b}$ 的坐标。
2. 再利用两向量数量积的坐标公式 $\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}=x_1{y}_1+x_2{y}_2$ 计算结果。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\mathbf{a}=(1,-2)$，$\mathbf{b}=(-3,4)$， 所以 $2\mathbf{b}=(-6,8)$， 进而得 $\mathbf{a}+2\mathbf{b}=(1-6,-2+8)=(-5,6)$。

又因为 $\mathbf{c}=(3,2)$， 所以 $(\mathbf{a}+2\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=(-5)\times 3+6\times 2=-15+12=-3$。

正确答案为：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量的坐标运算法则，$\mathbf{a}+\lambda \mathbf{b}=(x_1+\lambda x_2,y_1+\lambda y_2)$；数量积坐标表示。
2. 核心方法：直接代入公式的一步法。
3. 避坑指南：数乘向量时注意每一项坐标都要乘以系数（如 $2\mathbf{b}=(-6,8)$，容易漏掉其中一个）；数量积运算最终结果是实数，不是坐标向量，注意与向量积或数乘混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于教材中平面向量数量积的解析式应用，属于标准的基础课后演练变式。
2. 结论推广: 对于任意二维向量，数量积满足分配律，即 $(\mathbf{a}+2\mathbf{b})\cdot \mathbf{c}=\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}+2\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-20 解-向量平行垂直解三角形
• 2009-北京卷理-02 单-向量
• 2009-北京卷文-02 单-向量共线