2008-湖南卷文-10 单-双曲线离心率范围

本题导读

$ex-a=x+\frac{a}{e}\Rightarrow x=\frac{a(e+1)}{e(e-1)}⩾a\Rightarrow e^2-2e-1⩽0$，结合 $e>1$ 得 $e\in (1,\sqrt{2}+1]$.

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(文)） 双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的右支上存在一点，它到右焦点及左准线的距离相等，则双曲线离心率的取值范围是()

A. $(1,\sqrt{2}]$　　　B. $[\sqrt{2},+\infty )$　　　C. $(1,\sqrt{2}+1]$　　　D. $[\sqrt{2}+1,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

设点横坐标 $x$：到右焦点距离 $ex-a$（第二定义），到左准线距离 $x+\frac{a}{e}$；相等后用 $x⩾a$ 收口.

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设该点为 $P(x,y)$（右支，$x⩾a$）. 由双曲线第二定义，$P$ 到右焦点的距离$=e\cdot \left(x-\frac{a}{e}\right)=ex-a$. $P$ 到左准线 $x=-\frac{a}{e}$ 的距离为 $x+\frac{a}{e}$. 由题设 $ex-a=x+\frac{a}{e}$，解得 $x=\frac{a(e+1)}{e(e-1)}$. 由 $x⩾a$，得 $\frac{e+1}{e(e-1)}⩾1$，即 $e^2-2e-1⩽0$，解得 $1-\sqrt{2}⩽e⩽1+\sqrt{2}$. 又双曲线离心率 $e>1$，故 $e\in (1,\sqrt{2}+1]$，选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线的第二定义与离心率范围

核心方法：把”到焦点距离 = 到准线距离”用第二定义翻译成 $ex-a=x+\frac{a}{e}$，再用右支 $x⩾a$ 收口

避坑指南：左准线是 $x=-\frac{a}{e}$，点到左准线距离是 $x+\frac{a}{e}$（不是 $x-\frac{a}{e}$）；离心率范围要结合 $e>1$ 舍去负半支

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线第二定义的深度考查（准线与焦点距离关联）

结论推广：第二定义把焦半径写成 $ex\mp a$，与到准线距离直接挂钩；离心率范围由点的存在范围给出

方法推广：涉及准线的题一律想起第二定义；“存在一点”类问题最后要回到坐标的取值范围（右支 $x⩾a$）

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2009-湖南卷文-13 填-双曲线离心率
• 2011-湖南卷文-06 单-双曲线渐近线
• 2012-湖南卷文-06 单-双曲线渐近线方程
• 2013-湖南卷文-14 填-双曲线焦点三角形