2011-湖南卷文-07 单-切线斜率

本题导读

本题考查导数的几何意义，以及商的求导法则。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(文)） 曲线 $y=\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}-\frac{1}{2}$ 在点 $M\left(\frac{\pi }{4},0\right)$ 处的切线的斜率为 ()

A. $-\frac{1}{2}$　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　C. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：先化简 $y=\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}-\frac{1}{2}$
2. 步骤2：用商法则求导后代入 $x=\frac{\pi }{4}$

✅【答案】

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B$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$y=\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}-\frac{1}{2}$。

由商的求导法则：

$y^{\prime }=\frac{\cos x(\sin x+\cos x)-\sin x(\cos x-\sin x)}{(\sin x+\cos x{)}^2}=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{(\sin x+\cos x{)}^2}=\frac{1}{(\sin x+\cos x{)}^2}$。

$x=\frac{\pi }{4}$ 时 $\sin x+\cos x=\sqrt{2}$，故 $y^{\prime }=\frac{1}{2}$，即切线斜率为 $\frac{1}{2}$，选 B。

验：$y{|}_{x=\frac{\pi }{4}}=\frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$，点 $M$ 确在曲线上。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义；商的求导法则；三角齐次式求导后的化简

核心方法：求导后分子出现 ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x$ 自动降为 $1$，只剩分母含 $x$，代入即得

避坑指南：原卷排版中 $-\frac{1}{2}$ 是减在分式外面的常数项（若误读进分母，$M\left(\frac{\pi }{4},0\right)$ 根本不在曲线上，可据此自检）；商法则分子为"$分母导\times 分子-分子导\times 分母$"，顺序写反会得负斜率而错选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：切线斜率题与 2012-新课标卷文-13、2013-广东卷理-10、2014-新课标II卷理-08 同族。

结论推广：推广：$y=\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}=\frac{1}{2}\left(1+\frac{\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\right)$，其导数恒正，曲线单调增；一般地 ${\left(\frac{\sin x}{a\sin x+b\cos x}\right)}^{\prime }$ 的分子常可化简为常数与一次三角式的组合。

方法推广：三角分式函数求导：先写商法则展开式，再找 ${\sin }^2+{\cos }^2$ 降次化简，最后代入；代入前用函数值核对切点是否在曲线上。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2012-新课标卷文-13 填-导数切线方程
• 2013-广东卷理-10 填-切线斜率
• 2014-新课标II卷理-08 单-切线斜率的几何意义