2008-福建卷文-02 单-充要条件与直线垂直

本题导读

直线 $x+y=0$ 的斜率为 $-1$，直线 $x-ay=0$ 含参数 $a$；把”垂直”翻译成关于 $a$ 的等式，再判断与 $a=1$ 的逻辑关系。

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(文)） "$a=1$"是”直线 $x+y=0$ 和直线 $x-ay=0$ 互相垂直”的()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

两直线垂直 $\iff$ 斜率之积为 $-1$（注意斜率不存在的情形），解出 $a$ 的全部取值，恰好只有 $a=1$，故互为充要。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

直线 $x+y=0$ 的斜率 $k_1=-1$；当 $a\ne 0$ 时直线 $x-ay=0$ 的斜率 $k_2=\frac{1}{a}$. 两直线垂直 $\iff k_1{k}_2=-1$，即 $-\frac{1}{a}=-1$，解得 $a=1$. 当 $a=0$ 时 $x-ay=0$ 即 $x=0$，与 $x+y=0$ 不垂直，故此情形不成立. 因此”两直线垂直”的充要条件就是 $a=1$，选 C.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：充要条件与两直线垂直

核心方法：把垂直翻译成斜率之积为 $-1$，求出参数的充要集合再比对

避坑指南：别忘 $a=0$ 时直线 $x-ay=0$ 竖直、无斜率，须单独验证；漏掉这一情形容易把充要误判成充分不必要

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：充要条件配两直线位置关系是课标卷高频组合（2009 安徽文 7、2012 浙江文 5）

结论推广：将充要条件判定推广到平行（斜率相等且不重合）、夹角等位置关系

方法推广：把几何条件翻译成参数方程后，“求出参数全解集再比对”是通用流程

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2009-安徽卷文-07 单-两直线垂直
• 2011-浙江卷文-12 填-直线垂直求参
• 2009-北京卷文-06 单-充要条件判定
• 2012-浙江卷文-05 单-充要条件与直线平行