2008-福建卷文-06 单-长方体线面角

本题导读

$A{C}_1$ 与顶面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 所成角的射影就是 $A_1{C}_1$：$\cos \theta =\frac{A_1{C}_1}{A{C}_1}$，再转正弦.

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(文)） 如图，在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AB=BC=2$，$A{A}_1=1$，则 $A{C}_1$ 与平面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 所成角的正弦值为()

🔍【思路分析】

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$A{C}_1=\sqrt{2^2+2^2+1^2}=3$；$A$ 在顶面的射影是 $A_1$，故射影长 $A_1{C}_1=2\sqrt{2}$，$\cos \theta =\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\sin \theta =\frac{1}{3}$.

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由长方体棱长得 $A{C}_1=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2+A{A}_1^2}=\sqrt{4+4+1}=3$. 点 $A$ 在平面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 上的射影为 $A_1$，故 $A{C}_1$ 在该平面上的射影为 $A_1{C}_1$，且 $A_1{C}_1=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$. 设所成角为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{A_1{C}_1}{A{C}_1}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$， 所以 $\sin \theta =\sqrt{1-\frac{8}{9}}=\frac{1}{3}$，选 D.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与平面所成的角

核心方法：找斜线在平面内的射影，$\cos \theta =\frac{射影}{斜线}$，或建系求方向向量与法向量

避坑指南：所成角的范围 $$\begin{gathered} [0, \\ frac \\ pi2] \end{gathered}$$，$$\begin{gathered} cos \\ theta= \\ frac{A}_1{C}_{1}A{C}_1 \end{gathered}$$ 中分子是射影长不是别的棱；先求 $cos$ 再转 $sin$ 时开方别出错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：长方体（正方体）中的线面角是立体几何入门题（2010 大纲Ⅰ文 9）

结论推广：可推广到斜线与平面所成角的最值：射影长随位置变化

方法推广：先找射影再算角，或直接建系，两条路线都要熟练

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2010-大纲卷I文-09 单-正方体线面角
• 2010-大纲卷II文-08 单-三棱锥线面角
• 2013-大纲卷文-11 单-线面角
• 2012-福建卷文-19 解-长方体体积与线面垂直