2013-大纲卷文-11 单-线面角

本题导读

本题考查直线与平面所成的角，以及空间向量的应用。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(文)） 已知正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$A{A}_1=2AB$，则 $CD$ 与平面 $BD{C}_1$ 所成角的正弦值等于()

A. $\frac{2}{3}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$　　　　　　　D. $\frac{1}{3}$

🔍【思路分析】

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1. 取 $AB=1$、$A{A}_1=2$ 建系：$A(0,0,0)$、$B(1,0,0)$、$C(1,1,0)$、$D(0,1,0)$、$C_1(1,1,2)$。
2. $\vec{v}=\overrightarrow{CD}=(1,0,0)$ 方向向量；平面 $BD{C}_1$ 的法向量 $\vec{n}=(1,-1,0)\times (1,0,2)$。
3. $\sin \theta =\frac{|\vec{v}\cdot \vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|}$。

✅【答案】

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（A）

✍【详细解析】

Abstract

不妨设 $AB=1$，则 $A{A}_1=2$。以 $A$ 为原点、$AB$ 为 $x$ 轴、$AD$ 为 $y$ 轴、$A{A}_1$ 为 $z$ 轴建立空间直角坐标系： $A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),C_1(1,1,2).$ 直线 $CD$ 的方向向量可取 $\vec{v}=\overrightarrow{DC}=(1,0,0).$ 平面 $BD{C}_1$ 内两个不共线向量： $\overrightarrow{DB}=(1,-1,0),\overrightarrow{D{C}_1}=(1,0,2).$ 其法向量 $\vec{n}=\overrightarrow{DB}\times \overrightarrow{D{C}_1}=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}\\ 1& -1& 0\\ 1& 0& 2\end{array}\right|=(-2,-2,1).$ 设 $CD$ 与平面 $BD{C}_1$ 所成角为 $\theta$，则 $\sin \theta =\frac{|\vec{v}\cdot \vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|}=\frac{|(1,0,0)\cdot (-2,-2,1)|}{1\times \sqrt{4+4+1}}=\frac{2}{1\times 3}=\frac{2}{3}.$ 选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与平面所成的角（空间向量法）

核心方法：求直线的方向向量与平面的法向量，$\sin \theta =\frac{|\vec{v}\cdot \vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|}$

避坑指南：线面角取正弦（不是余弦）；法向量用叉积求出后别忘了取绝对值；底面正方形对角线与边长的关系（$\sqrt{2}s$）在设坐标时就要用对。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：直线与平面所成的角（全国卷必考）。

结论推广：线面角 $\theta$：$\sin \theta =\frac{|\vec{v}\cdot \vec{n}|}{|\vec{v}||\vec{n}|}$，其中 $\vec{v}$ 为直线的方向向量、$\vec{n}$ 为平面的法向量。

方法推广：向量法求线面角三步：建系写出各点坐标 → 求方向向量与法向量 → 代公式（结果取正弦值）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-04 单-异面直线所成角
• 2013年大纲版理-10