2008-福建卷文-18 解-破译密码概率

本题导读

(1) 恰有二人破译分三类：甲乙成甲丙成乙丙成，各按独立事件概率乘法求出相加；(2) 先算三人都未破译的概率，再用 $1-P$ 得被破译概率，与未破译比较.

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(文)） 三人独立破译同一份密码. 已知三人各自破译出密码的概率分别为 $\frac{1}{5}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{3}$，且他们是否破译出密码互不影响.

(1) 求恰有二人破译出密码的概率；

(2) “密码被破译”与”密码未被破译”的概率哪个大？说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

(1) $P=\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{2}{3}+\frac{1}{5}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}+\frac{4}{5}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{3}{20}$. (2) 三人都未破译 $=\frac{4}{5}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{2}{3}=\frac{2}{5}$，故被破译 $=\frac{3}{5}>\frac{2}{5}$.

✅【答案】

点击查看答案

(1) $\frac{3}{20}$；(2) “密码被破译”的概率较大

✍【详细解析】

Abstract

设第 $i$ 个人破译出密码为事件 $A_i$（$i=1,2,3$），则 $P(A_1)=\frac{1}{5}$，$P(A_2)=\frac{1}{4}$，$P(A_3)=\frac{1}{3}$. (1) 恰有二人破译出密码包括三种互不相容的情形，所求概率为 $P=P(A_1{A}_2\overline{A_3})+P(A_1\overline{A_2}{A}_3)+P(\overline{A_1}{A}_2{A}_3)$ $=\frac{1}{5}\times \frac{1}{4}\times \frac{2}{3}+\frac{1}{5}\times \frac{3}{4}\times \frac{1}{3}+\frac{4}{5}\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{30}+\frac{1}{20}+\frac{1}{15}=\frac{3}{20}$. (2) 三人都未破译出密码的概率为 $P(\text{密码未被破译})=\frac{4}{5}\times \frac{3}{4}\times \frac{2}{3}=\frac{2}{5}$. 由对立事件，$P(\text{密码被破译})=1-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}$. 因为 $\frac{3}{5}>\frac{2}{5}$，所以”密码被破译”的概率较大.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：相互独立事件与互斥分解

核心方法：恰有 $k$ 个发生按组合类别拆成互斥事件求和

避坑指南：“恰有二人”是三类之和，漏一类或重复都错；“密码被破译”用对立事件 $$\begin{gathered} 1-P( \\ text全未破译) \end{gathered}$$ 最省力，别去算三人中至少一人破译的复杂分类

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：独立事件概率大题的标准结构（2009 北京文 17、2010 四川文 17）

结论推广：人数或概率变化后结构不变；可加问”恰好一人破译""至少一人破译”

方法推广：互斥拆类 + 独立乘法 + 对立转换，三件套覆盖全部基础概率大题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-17 解-独立事件概率
• 2009-重庆卷文-17 解-独立事件概率
• 2010-四川卷文-17 解-独立事件概率
• 2012-重庆卷文-18 解-相互独立事件概率