2010-四川卷文-17 解-独立事件概率

本题导读

考查独立重复事件。每人不中奖的概率为 $\frac{5}{6}$；(1) 三人都没中奖为 ${\left(\frac{5}{6}\right)}^3=\frac{125}{216}$；(2) 恰有两位没中奖与三位都没中奖两情形互斥，相加得 $\frac{25}{27}$。

📌【题干】

Question

（2010年四川卷(文)） 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有”奖励一瓶”或”谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有”奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 $\frac{1}{6}$. 甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料.

(1)求三位同学都没有中奖的概率；

(2)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 各人购买结果相互独立，没有中奖的概率为 $1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$。
2. (1) 三位同学都没有中奖：三人同时没中奖，概率相乘。
3. (2) “至少有两位没有中奖”拆成”恰有两位没有中奖”与”三位都没有中奖”两个互斥事件，分别计算后相加。

✅【答案】

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(1) $\frac{125}{216}$

(2) $\frac{25}{27}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）每位同学没有中奖的概率为 $1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$，且各人购买结果相互独立，故三位同学都没有中奖的概率为 ${\left(\frac{5}{6}\right)}^3=\frac{125}{216}.$ （2）三位同学中至少有两位没有中奖，包括”恰有两位没有中奖”与”三位都没有中奖”两种互斥情况： 恰有两位没有中奖的概率为 ${\mathrm{C}}_3^2{\left(\frac{5}{6}\right)}^2\cdot \frac{1}{6}=\frac{75}{216}$； 三位都没有中奖的概率为 $\frac{125}{216}$. 故所求概率为 $\frac{75}{216}+\frac{125}{216}=\frac{200}{216}=\frac{25}{27}.$ 所以三位同学中至少有两位没有中奖的概率为 $\frac{25}{27}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立重复试验的概率

核心方法：${\left(\frac{5}{6}\right)}^3=\frac{125}{216}$；${\mathrm{C}}_3^2{\left(\frac{5}{6}\right)}^2\cdot \frac{1}{6}+{\left(\frac{5}{6}\right)}^3=\frac{25}{27}$

避坑指南：“没有中奖”的概率是 $\frac{5}{6}$ 不是 $\frac{1}{6}$；(2) 中”至少有两位没有中奖”拆成”恰有两位 $+$ 三位”两个互斥事件；组合数 ${\mathrm{C}}_3^2$ 是选哪两位没有中奖，别乘反。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：瓶盖中奖模型即独立重复试验（伯努利概型）的应用题化身，是各地概率解答题的基础问法。

结论推广：$n$ 次独立重复试验中恰发生 $k$ 次：${\mathrm{C}}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$；“至少”型用分类相加或对立事件。

方法推广：先写单次概率，再明确”独立”与”互斥”两种关系；“至少”问题分类加法直观时优先分类。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-17 解-独立事件概率
• 2009-陕西卷文-18 解-独立事件概率
• 2012-重庆卷文-18 解-相互独立事件概率
• 2011-重庆卷文-17 解-独立重复与非空分配