2008-福建卷文-19 解-四棱锥垂直与距离

本题导读

$PA=PD$ 且 $O$ 为中点给 $PO\perp AD$，叠加侧面⊥底面得线面垂直，从而 $PO$ 可作高建系；(2) 异面直线角即两方向向量夹角的绝对值余弦；(3) 平面 $PCD$ 的法向量好求，点面距用投影公式.

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(文)） 如图，在四棱锥 $P-ABCD$ 中，侧面 $PAD\perp$ 底面 $ABCD$，侧棱 $PA=PD=\sqrt{2}$，底面 $ABCD$ 为直角梯形，其中 $BC\parallel AD$，$AB\perp AD$，$AD=2AB=2BC=2$，$O$ 为 $AD$ 中点.

(1) 求证：$PO\perp$ 平面 $ABCD$；

(2) 求异面直线 $PB$ 与 $CD$ 所成角的余弦值；

(3) 求点 $A$ 到平面 $PCD$ 的距离.

🔍【思路分析】

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(1) $△PAD$ 等腰且 $O$ 为中点 $\Rightarrow PO\perp AD$，再由面面垂直性质得线面垂直. (2) 以 $A$ 为原点建系：$P(1,0,1)$，$B(0,1,0)$，$C(1,1,0)$，$D(2,0,0)$；$\cos =\frac{|\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{PB}||\overrightarrow{CD}|}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$. (3) 平面 $PCD$ 法向量 $(1,1,1)$，$d=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

✅【答案】

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(1) 见解析；(2) $\frac{\sqrt{6}}{3}$；(3) $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 在 $△PAD$ 中，$PA=PD$，$O$ 为 $AD$ 中点，所以 $PO\perp AD$. 又侧面 $PAD\perp$ 底面 $ABCD$，交线为 $AD$，$PO\subset$ 平面 $PAD$， 所以 $PO\perp$ 平面 $ABCD$. (2) 由 $AD=2$，$O$ 为 $AD$ 中点，$AO=1$；$PO\perp$ 平面 $ABCD$，$PA=\sqrt{2}$，故 $PO=1$. 以 $A$ 为原点，$AD$、$AB$ 所在直线为 $x$、$y$ 轴，$AP$ 方向竖直向上建系，则 $A(0,0,0)$，$B(0,1,0)$，$C(1,1,0)$，$D(2,0,0)$，$P(1,0,1)$. 于是 $\overrightarrow{PB}=(-1,1,-1)$，$\overrightarrow{CD}=(1,-1,0)$. $\cos ⟨\overrightarrow{PB},\overrightarrow{CD}⟩=\frac{|\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{CD}|}{|\overrightarrow{PB}|\cdot |\overrightarrow{CD}|}=\frac{|-1-1+0|}{\sqrt{3}\times \sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$. 所以异面直线 $PB$ 与 $CD$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$. (3) $\overrightarrow{PC}=(0,1,-1)$，$\overrightarrow{PD}=(1,0,-1)$. 向量 $\mathbf{n}=(1,1,1)$ 与两者都垂直，可作平面 $PCD$ 的法向量. 又 $\overrightarrow{AP}=(1,0,1)$，故点 $A$ 到平面 $PCD$ 的距离 $d=\frac{|\overrightarrow{AP}\cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}=\frac{|1+0+1|}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$. 所以点 $A$ 到平面 $PCD$ 的距离为 $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面面垂直性质与空间向量

核心方法：三线合一得线面垂直作高，建系后角与距离全部向量化

避坑指南：坐标要一次定准：$O$ 是 $AD$ 中点、$PO=1$ 由 $P{A}^2=A{O}^2+P{O}^2$ 而来；异面直线所成角取锐角（或直角），余弦必须加绝对值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：面面垂直 + 建系求角与距离是立体几何大题主干（2010 广东文 18、2011 福建文 20）

结论推广：(3) 可推广为求线段 $PC$ 上动点到平面距离的范围

方法推广：等腰三角形三线合一定高、面面垂直性质定垂直，两个定理叠加即可建系

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2010-广东卷文-18 解-线面垂直点面距
• 2010-江苏卷-16 解-线面垂直与点面距离
• 2010-北京卷文-17 解-面面垂直与线面垂直
• 2011-福建卷文-20 解-四棱锥垂直与体积