2008-福建卷理-15 填-立体几何

本题导读

本题考查三棱锥外接球表面积的计算。针对“三条侧棱两两垂直”的墙角模型，通过补形为长方体，将求外接球半径转化为求长方体的体对角线长度。

📌【题干】

Question

（2008年福建卷(理)） 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 $\sqrt{3}$，则其外接球的表面积是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确三个侧面两两垂直意味着三条侧棱也两两垂直，属于典型的“墙角模型”。
2. 将此三棱锥补形成一个以这三条侧棱为长、宽、高的正方体。
3. 空间几何体外接球的直径 $2R$ 等于该正方体的体对角线长。
4. 求出半径 $R$ 后，利用球体表面积公式 $S=4\pi R^2$ 计算得出答案。

✅【答案】

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$9\pi$

✍【详细解析】

Abstract

由题意，三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长度均为 $a=b=c=\sqrt{3}$。 将该三棱锥补形成一个边长为 $\sqrt{3}$ 的正方体，则该三棱锥的外接球即为该正方体的外接球。 设外接球的半径为 $R$，正方体的体对角线即为外接球的直径 $2R$。 根据长方体（正方体）的对角线公式得： $(2R{)}^2=a^2+b^2+c^2=(\sqrt{3}{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2=3+3+3=9$ 则 $4R^2=9$。 外接球的表面积为： $S=4\pi R^2=9\pi$ 故答案为：$9\pi$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多面体外接球半径的求法；正方体与长方体的对角线性质。
2. 核心方法：补形法（墙角模型补成长方体）。
3. 避坑指南：无需费力寻找外接球的球心具体空间位置，通过空间补形法整体处理直径关系是最简捷的方法。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源: 经典的立体几何“多面体与球”问题，来源于正方体截面性质的逆向思维应用。
5. 结论推广: 若三棱锥的三条侧棱两两垂直且长度分别为 $a,b,c$，则其外接球半径 $R$ 满足 $4R^2=a^2+b^2+c^2$，表面积 $S=\pi (a^2+b^2+c^2)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

$9\pi$

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-06 填-球表面积比
• 2009-大纲卷II文-16 填-球截面与表面积
• 2009-江西卷文-20 解-四棱锥与球