2009-江西卷文-20 解-四棱锥与球

本题导读

考查空间向量。(1) 平面 $ABM$ 与平面 $PCD$ 的法向量 $(0,-1,1)$ 与 $(0,1,1)$ 垂直；(2) $\sin \alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3}$，角为 $\arctan 2\sqrt{2}$；(3) 距离为 $\sqrt{2}$。

📌【题干】

Question

（2009年江西卷(文)） 在四棱锥 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 是矩形，$PA\perp$ 平面 $ABCD$，$PA=AD=4$，$AB=2$.以 $BD$ 的中点 $O$ 为球心、$BD$ 为直径的球面交 $PD$ 于点 $M$.

(1) 求证：平面 $ABM\perp$ 平面 $PCD$；

(2) 求直线 $PC$ 与平面 $ABM$ 所成的角；

(3) 求点 $O$ 到平面 $ABM$ 的距离.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系：$A(0,0,0)$，$B(2,0,0)$，$C(2,4,0)$，$D(0,4,0)$，$P(0,0,4)$，$O(1,2,0)$。
2. 定 $M$：直线 $PD$ 上的点 $X(t)=(0,4t,4-4t)$，代入球面 $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+z^2=5$，解得 $t=\frac{1}{2}$（$t=1$ 对应 $D$），$M=(0,2,2)$。
3. (1) 平面 $ABM$ 的法向量 ${\mathbf{n}}_1=(0,-4,4)$，平面 $PCD$ 的法向量 ${\mathbf{n}}_2=(0,8,8)$，数量积为 $0$。
4. (2) $\sin \alpha =\frac{|\overrightarrow{PC}\cdot {\mathbf{n}}_1|}{|\overrightarrow{PC}||{\mathbf{n}}_1|}=\frac{8}{6\cdot 2\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$\tan \alpha =2\sqrt{2}$。
5. (3) 平面 $ABM$ 的方程为 $z=y$，$O(1,2,0)$ 代入距离公式 $d=\frac{|2-0|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。

✅【答案】

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(1) 证明见解析；(2) 所成角为 $\arctan 2\sqrt{2}$；(3) 距离为 $\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

以 $A$ 为原点，$AB$，$AD$，$AP$ 所在直线为 $x$，$y$，$z$ 轴建立空间直角坐标系，则 $A=(0,0,0)$，$B=(2,0,0)$，$C=(2,4,0)$，$D=(0,4,0)$，$P=(0,0,4)$，$O=(1,2,0)$。 $|BD{|}^2=2^2+4^2=20$，球半径平方为 $5$，球面方程为 $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2+z^2=5$。 直线段 $PD$ 上的点可写为 $X(t)=(0,4t,4-4t)$（$0⩽t⩽1$）。代入球面方程： $1+(4t-2{)}^2+(4-4t{)}^2=5$，即 $32t^2-48t+16=0$，$2t^2-3t+1=0$，$(2t-1)(t-1)=0$。 其中 $t=1$ 对应点 $D$，所以另一交点为 $M=X\left(\frac{1}{2}\right)=(0,2,2)$。 (1) 平面 $ABM$ 内取 $\overrightarrow{AB}=(2,0,0)$，$\overrightarrow{AM}=(0,2,2)$，法向量 ${\mathbf{n}}_1=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AM}=(0,-4,4)$。 平面 $PCD$ 内取 $\overrightarrow{PC}=(2,4,-4)$，$\overrightarrow{PD}=(0,4,-4)$，法向量 ${\mathbf{n}}_2=\overrightarrow{PC}\times \overrightarrow{PD}=(0,8,8)$。 ${\mathbf{n}}_1\cdot {\mathbf{n}}_2=0+(-4)\times 8+4\times 8=0$，两平面法向量垂直，所以平面 $ABM\perp$ 平面 $PCD$。 (2) 直线 $PC$ 的方向向量 $\mathbf{v}=(2,4,-4)$。设直线 $PC$ 与平面 $ABM$ 所成的角为 $\alpha$， $\sin \alpha =\frac{|\mathbf{v}\cdot {\mathbf{n}}_1|}{|\mathbf{v}||{\mathbf{n}}_1|}=\frac{|0-16-16|}{6\times 4\sqrt{2}}=\frac{32}{24\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$。 从而 $\cos \alpha =\frac{1}{3}$，$\tan \alpha =2\sqrt{2}$，即所求角为 $\arctan 2\sqrt{2}$。 (3) 由 ${\mathbf{n}}_1=(0,-4,4)$，平面 $ABM$ 的方程为 $-4y+4z=0$，即 $z=y$。 点 $O=(1,2,0)$ 到该平面的距离用法向量计算： $d=\frac{|\overrightarrow{AO}\cdot {\mathbf{n}}_1|}{|{\mathbf{n}}_1|}=\frac{|0-8+0|}{4\sqrt{2}}=\frac{8}{4\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。 故点 $O$ 到平面 $ABM$ 的距离为 $\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：空间向量与球

核心方法：坐标法一条龙：定 $M$、算法向量、用距离公式

避坑指南：球面与 $PD$ 的交点用参数 $(0,4t,4-4t)$ 代入球面方程解出 $t=\frac{1}{2}$；两个平面的法向量叉乘后数量积为零即垂直；点到平面的距离用 $|\overrightarrow{AO}\cdot \mathbf{n}|/|\mathbf{n}|$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“以 $BD$ 为直径的球”上任意点 $X$ 满足 $\angle BXD=90^{\circ }$，也可用向量竖直验证。

结论推广：叉乘算法向量：坐标按对角线展开，注意符号。

方法推广：线面角用 $\sin \alpha =|\mathbf{v}\cdot \mathbf{n}|/(|\mathbf{v}||\mathbf{n}|)$，别忘了最后从 $\sin$ 回到角。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 21.02 空间向量与线面位置关系判定

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-16 解-四棱锥面面垂直
• 2009-大纲卷I文-19 解-四棱锥二面角
• 2011-大纲卷文-20 解-四棱锥线面垂直与线面角