2008-重庆卷理-02 单-充分必要条件

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定，结合了初等数论中关于整数奇偶性的基本性质。

📌【题干】

Question

（2008年重庆卷(理)） 设 $m,n$ 是整数，则“$m,n$ 均为偶数”是“$m+n$ 是偶数”的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 评估充分性：若 $m,n$ 均为偶数，判断 $m+n$ 是否必定为偶数。
2. 评估必要性：若 $m+n$ 是偶数，判断 $m,n$ 是否必定均为偶数。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

充分性：若 $m,n$ 均为偶数，可设 $m=2k_1,n=2k_2(k_1,k_2\in \mathbf{Z})$，则 $m+n=2(k_1+k_2)$ 必为偶数，充分性成立。 必要性：若 $m+n$ 是偶数，则 $m,n$ 可以同为奇数，例如 $m=1,n=1$ 时 $m+n=2$ 是偶数，但 $m,n$ 均为偶数不成立，必要性不成立。 综上，“$m,n$ 均为偶数”是“$m+n$ 是偶数”的充分而不必要条件。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充分条件与必要条件的定义。
2. 核心方法：充要条件的“正推”与“逆推”判定。
3. 避坑指南：判定必要性时，容易漏掉“两数同为奇数”的情况，需通过构造反例予以排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源于教材中常用逻辑用语与整数性质的结合。
2. 结论推广：$m,n\in \mathbf{Z}$，“$m,n$ 奇偶性相同”是“$m+n$ 是偶数”的充要条件。

🔗【关联脉络】

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A

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷理-05 单-充分必要条件
• 2009-安徽卷文-04 单-充分必要条件
• 2009-浙江卷文-02 单-充分必要条件