2009-北京卷理-05 单-充分必要条件

本题导读

本题考查充分必要条件的判定、二倍角的余弦公式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年北京卷(理)） “$\alpha =\frac{\pi }{6}+2k\pi (k\in \mathbf{Z})$” 是 “$\cos 2\alpha =\frac{1}{2}$” 的 ()

A. 充分而不必要条件　　　　　　　　　B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 充分性：将 $\alpha =\frac{\pi }{6}+2k\pi$ 代入 $\cos 2\alpha$，利用周期性与特殊角三角函数值判断结论是否成立。
2. 必要性：解方程 $\cos 2\alpha =\frac{1}{2}$，求出 $\alpha$ 的所有可能取值集合，比对条件集合与结论集合的包含关系。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 充分性验证：若 $\alpha =\frac{\pi }{6}+2k\pi (k\in \mathbf{Z})$，则： $2\alpha =\frac{\pi }{3}+4k\pi ⟹\cos 2\alpha =\cos \left(\frac{\pi }{3}+4k\pi \right)=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$ 充分性成立。
• 必要性验证：若 $\cos 2\alpha =\frac{1}{2}$，则： $2\alpha =\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi ⟹\alpha =\pm \frac{\pi }{6}+k\pi (k\in \mathbf{Z})$ 由此可知， $\alpha$ 还可以等于 $-\frac{\pi }{6},\frac{7\pi }{6}$ 等，不能推出 $\alpha =\frac{\pi }{6}+2k\pi$。必要性不成立。

综上所述，“$\alpha =\frac{\pi }{6}+2k\pi (k\in \mathbf{Z})$”是“$\cos 2\alpha =\frac{1}{2}$”的充分而不必要条件。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充分必要条件的定义；三角方程 $\cos x=m$ 的通解结构。
2. 核心方法：集合包含法（条件 $⟹$ 结论，则条件是充分的；结论 $⟹$ 条件，则条件是必要的）。
3. 避坑指南：解 $\cos 2\alpha =\frac{1}{2}$ 时容易漏掉 $\pm$ 号，或者在除以 2 时忘记将周期 $2k\pi$ 变为 $k\pi$，从而错误地认为两条件等价。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中简易逻辑与三角函数性质交汇处的典型习题，旨在考查对通解与特殊解集合关系的理解。
2. 结论推广：条件 $A:\theta ={\theta }_0+2k\pi$ 是条件 $B:\cos n\theta =\cos n{\theta }_0(n\in {\mathbf{N}}^{\ast })$ 的充分而不必要条件。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

A

类题演练 (Links)

• 2011-大纲卷理-03 单-余弦函数
• 2011-天津卷文-16 解-正余弦定理与二倍角
• 2011-山东卷文-17 解-正余弦定理解三角形