2008-陕西卷理-20 解-抛物线

本题导读

本题是一道经典的解析几何与向量、导数交汇的综合题。主要考查弦中点性质、抛物线切线斜率以及利用向量数量积建立方程求解参数的能力。

📌【题干】

Question

（2008年陕西卷(理)） 已知抛物线 $C:y=2x^2$，直线 $y=kx+2$ 交 $C$ 于 $A,B$ 两点，$M$ 是线段 $AB$ 的中点，过 $M$ 作 $x$ 轴的垂线交 $C$ 于点 $N$.

(1)证明：抛物线 $C$ 在点 $N$ 处的切线与 $AB$ 平行；

(2)是否存在实数 $k$ 使 $\overrightarrow{NA}\cdot \overrightarrow{NB}=0$，若存在，求 $k$ 的值；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：联立直线与抛物线方程得到一元二次方程，利用韦达定理表示出中点 $M$ 的横坐标，即为 $N$ 的横坐标。求导数得到点 $N$ 处的切线斜率，与直线 $AB$ 斜率对比即可。
2. 第二问：利用韦达定理分别写出 $\overrightarrow{NA}\cdot \overrightarrow{NB}$ 的横坐标之积与纵坐标之积，代入化简建立关于 $k$ 的方程，求解并检验。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

联立方程组 $\{\begin{array}{l}y=2x^2\\ y=kx+2\end{array}$，消去 $y$ 得：$2x^2-kx-2=0$。 设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则 $\Delta =k^2+16>0$ 恒成立。 由韦达定理得：$x_1+x_2=\frac{k}{2}$，$x_1{x}_2=-1$。

(1)证明： 因为 $M$ 是线段 $AB$ 的中点，且 $MN\perp x$ 轴， 所以点 $N$ 的横坐标 $x_N=x_M=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{k}{4}$。 由于点 $N$ 在抛物线 $C$ 上，由 $y=2x^2$ 得 $y^{\prime }=4x$。 所以抛物线 $C$ 在点 $N$ 处的切线斜率 $k_{\text{切}}=4x_N=4\times \frac{k}{4}=k$。 因为直线 $AB$ 的斜率也为 $k$， 所以抛物线 $C$ 在点 $N$ 处的切线与 $AB$ 平行。

(2)解：存在实数 $k=\pm 2$ 使得 $\overrightarrow{NA}\cdot \overrightarrow{NB}=0$。理由如下： 由(1)知 $x_N=\frac{k}{4}$，则 $y_N=2x_N^2=\frac{k^2}{8}$。 $\overrightarrow{NA}\cdot \overrightarrow{NB}=(x_1-x_N)(x_2-x_N)+(y_1-y_N)(y_2-y_N)=0$。

• 横坐标部分： $(x_1-\frac{k}{4})(x_2-\frac{k}{4})=x_1{x}_2-\frac{k}{4}(x_1+x_2)+\frac{k^2}{16}=-1-\frac{k^2}{8}+\frac{k^2}{16}=-1-\frac{k^2}{16}$
• 纵坐标部分（利用 $y_1=2x_1^2,y_2=2x_2^2$）： $(y_1-\frac{k^2}{8})(y_2-\frac{k^2}{8})=(2x_1^2-\frac{k^2}{8})(2x_2^2-\frac{k^2}{8})=4(x_1{x}_2{)}^2-\frac{k^2}{4}(x_1^2+x_2^2)+\frac{k^4}{64}$ 因为 $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=\frac{k^2}{4}+2$， 所以纵坐标部分 $=4-\frac{k^2}{4}\left(\frac{k^2}{4}+2\right)+\frac{k^4}{64}=4-\frac{k^2}{2}-\frac{3k^4}{64}$。

两部分相加得： $\overrightarrow{NA}\cdot \overrightarrow{NB}=\left(-1-\frac{k^2}{16}\right)+\left(4-\frac{k^2}{2}-\frac{3k^4}{64}\right)=3-\frac{9k^2}{16}-\frac{3k^4}{64}=0$ 两边同除以 $-3$ 并乘 $64$ 得：$k^4+12k^2-64=0$， 因式分解得：$(k^2-4)(k^2+16)=0$。 因为 $k^2\ge 0$，所以 $k^2=4$，解得 $k=\pm 2$。 故存在实数 $k=\pm 2$ 使得 $\overrightarrow{NA}\cdot \overrightarrow{NB}=0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线的斜率、导数的几何意义、整体代换思想与解析几何经典硬解定理。
2. 核心方法：通过中点横坐标等于两交点横坐标之和的一半，将未知点 $N$ 快速参数化。
3. 避坑指南：在计算纵坐标乘积 $(y_1-y_N)(y_2-y_N)$ 时，既可以用直线方程代入也可以用抛物线方程代入。使用抛物线代入时，注意处理四次项与二次项的合并，极易因粗心导致系数计算错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题第一问是圆锥曲线中关于“平行弦中点轨迹与切线”的阿基米德性质变式（阿基米德三角形性质）。
2. 结论推广: 对于任意抛物线 $y=a{x}^2+bx+c$，若直线与抛物线交于 $A,B$ 两点，线段 $AB$ 中点为 $M$，过 $M$ 作对称轴的平行线交抛物线于 $N$，则抛物线在点 $N$ 处的切线必然平行于直线 $AB$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2011-江西卷文-19 解-抛物线焦点弦与向量
• 2011-湖南卷文-21 解-抛物线轨迹与向量最值
• 2012-江西卷文-20 解-向量轨迹抛物线切线