2009-上海卷文-08 填-旋转体圆锥体积

本题导读

考查旋转体。直角边 $2$ 绕另一直角边旋转得圆锥，$V=\frac{1}{3}\pi \cdot 2^2\cdot 2=\frac{8\pi }{3}$。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(文)） 若等腰直角三角形的直角边长为 $2$，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 旋转所得几何体是圆锥：底面半径 $r=2$（另一条直角边），高 $h=2$（旋转轴）。
2. $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 4\cdot 2=\frac{8\pi }{3}$。

✅【答案】

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$\frac{8\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

等腰直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周，所得几何体是圆锥，其底面半径等于另一条直角边长 $2$，高等于旋转轴上的直角边长 $2$。 故 $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \times 2^2\times 2=\frac{8\pi }{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：旋转体与圆锥体积

核心方法：识别圆锥 + 套公式

避坑指南：绕直角边旋转：该直角边是高 $h=2$，另一条直角边扫出底面 $r=2$；$V=\frac{8\pi }{3}$ 里的 $\frac{1}{3}$ 别丢。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：旋转体识别是立体几何基本功。

结论推广：$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$。

方法推广：直角三角形绕斜边旋转得”双圆锥”，绕直角边才是单个圆锥，题干说”一直角边”要读准。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-07 填-圆锥侧面积
• 2013-上海卷理-13 填-旋转体体积
• 2011-湖南卷文-19 解-圆锥线面角