2012-大纲卷文-04 单-二倍角与象限符号

本题导读

本题考查同角三角函数的基本关系，以及二倍角公式。

📌【题干】

Question

（2012年大纲卷(文)） 已知 $\alpha$ 为第二象限角，$\sin \alpha =\frac{3}{5}$，则 $\sin 2\alpha =$()

A. $-\frac{24}{25}$　　　　　B. $-\frac{12}{25}$　　　　　C. $\frac{12}{25}$　　　　　D. $\frac{24}{25}$

🔍【思路分析】

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第二象限角 $\cos \alpha =-\frac{4}{5}$，$\sin 2\alpha =2\times \frac{3}{5}\times \left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{24}{25}$，选 A。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

$\alpha$ 为第二象限角，$\cos \alpha <0$，故 $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$。

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\times \frac{3}{5}\times \left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{24}{25}$，选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：同角平方关系与符号判断；二倍角正弦公式

核心方法：先由象限定 $\cos \alpha$ 的符号，再代入 $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$

避坑指南：第二象限角 $\cos \alpha$ 取负是关键一步，漏掉负号会误选 D；“给值求值”题中象限条件是符号的唯一依据，必须先用。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：倍角与象限符号结合的入口题，与 2013 年四川卷文第 14 题、2013 年上海卷文第 9 题（二倍角求值）同族。

结论推广：一般地，$\sin \alpha =\frac{3}{5}$：$\alpha$ 为第一象限角时 $\sin 2\alpha =\frac{24}{25}$，为第二象限角时 $\sin 2\alpha =-\frac{24}{25}$，也可由 $2\alpha$ 所在象限直接定号。

方法推广：“给值求值”标准流程：平方关系求另一三角函数值（先定符号）→ 套倍角或和差公式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-14 填-二倍角求值
• 2013-上海卷文-09 填-二倍角求值