2009-上海卷文-14 填-格点中位数选址

本题导读

考查新定义。沿街道路程即曼哈顿距离，横纵独立：$x$ 中位数 $3$，$y$ 中位数 $3$ 或 $4$（$(3,4)$ 是零售点，取 $(3,3)$）。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(文)） 某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为 $1$，两街道相交的点称为格点.若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点 $(-2,2)$，$(3,1)$，$(3,4)$，$(-2,3)$，$(4,5)$ 为报刊零售点.请确定一个格点为发行站，使 $5$ 个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短，发行站为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 路程和 $T(u,v)=\sum |x_i-u|+\sum |y_i-v|$，两部分独立。
2. $x$ 坐标排序 $-2,-2,3,3,4$，中位数 $u=3$；$y$ 坐标排序 $1,2,3,4,5$，中位数 $v=3$。
3. $(3,3)$ 不是零售点，故发行站为 $(3,3)$。

✅【答案】

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$(3,3)$

✍【详细解析】

Abstract

设发行站为格点 $(u,v)$。五个零售点到它的沿街路程之和为 $T(u,v)={\sum }_{i=1}^5|x_i-u|+{\sum }_{i=1}^5|y_i-v|$，横、纵两部分彼此独立。 横坐标从小到大为 $-2,-2,3,3,4$，奇数个点的绝对值和在中位数处取得最小值，$u=3$； 纵坐标从小到大为 $1,2,3,4,5$，中位数 $v=3$。 格点 $(3,3)$ 不是零售点，可以直接使用，故发行站为 $(3,3)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：曼哈顿距离与中位数

核心方法：横纵独立 + 中位数选址

避坑指南：两个中位数区间取点时要避开零售点：$y$ 向 $3,4$ 都最优，但 $(3,4)$ 是零售点，取 $(3,3)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：曼哈顿距离最优选址本质是中位数问题。

结论推广：$\sum |x_i-u|$ 在奇数个点的中位数处最小。

方法推广：$x$ 数据 $-2,-2,3,3,4$ 的中位数恰是 $3$（重复值占中位），横纵分别定后合成坐标。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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