2009-上海卷文-18 单-统计量与标志判断

本题导读

考查统计量。丁地：若某天 $⩾8$，则方差 $⩾\frac{(8-2{)}^2}{10}=3.6>3$ 矛盾，故每天 $⩽7$，选 D；其余三项均可举反例。

📌【题干】

Question

（2009年上海卷(文)） 在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为”连续 $10$ 天，每天新增疑似病例不超过 $7$ 人”.根据过去 $10$ 天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是 ()

A. 甲地：总体均值为 $3$，中位数为 $4$

B. 乙地：总体均值为 $1$，总体方差大于 $0$

C. 丙地：中位数为 $2$，众数为 $3$

D. 丁地：总体均值为 $2$，总体方差为 $3$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 丁地反证：若某天 $x⩾8$，则方差 ${\sigma }^2⩾\frac{(8-2{)}^2}{10}=3.6>3$，与方差 $3$ 矛盾。故每天 $⩽7$，符合标志。
2. 甲、乙、丙三地均可构造含 $>7$ 天数的反例（见解析），均不能保证符合标志。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

（D）丁地：反设某天新增 $x⩾8$。由方差定义， ${\sigma }^2=\frac{1}{10}{\sum }_{i=1}^{10}(x_i-2{)}^2⩾\frac{(8-2{)}^2}{10}=3.6>3$，与总体方差为 $3$ 矛盾。 故丁地每天新增不超过 $7$ 人，一定符合标志。 （A）甲地：取数据 $0,0,0,0,4,4,4,4,4,10$，总体均值 $=\frac{30}{10}=3$，中位数 $=\frac{4+4}{2}=4$，但有 $10>7$ 的一天，不能保证符合标志； （B）乙地：取数据 $0,0,0,0,0,0,0,0,0,10$，均值 $=1$，方差 $=\frac{9^2+9\times 1^2}{10}=9>0$，但有一天 $10>7$； （C）丙地：取数据 $0,1,2,2,2,3,3,3,3,10$，中位数 $=2$，众数 $=3$，但有一天 $10>7$。 所以只有丁地一定符合，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：总体特征数的统计推断

核心方法：方差对最大值的控制：$n{\sigma }^2⩾(\max -\mu {)}^2$

避坑指南：方差 $3$ 封顶最大值：$(8-2{)}^2/10=3.6>3$ 说明 $8$ 都出现不了；其余三个选项各构一个反例即可排除。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“一定符合”型判断要给充分性证明 + 反例排除。

结论推广：若 $\max ⩾8$ 则方差 $⩾\frac{(\max -2{)}^2}{10}>3$。

方法推广：反例数据不必多想：均值/中位数/众数都不约束单点，塞一个 $10$ 再配平即可。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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• 2012-北京卷文-17 解-统计表与方差最值
• 2011-陕西卷文-10 单-树苗选址中位数