2012-北京卷文-17 解-统计表与方差最值

本题导读

本题考查用样本频率估计总体。核心在于补集法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2012年北京卷(文)） 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱. 为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 $1000$ 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

	“厨余垃圾”箱	”可回收物”箱	”其他垃圾”箱
厨余垃圾	$400$	$100$	$100$
可回收物	$30$	$240$	$30$
其他垃圾	$20$	$20$	$60$

(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；

(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；

(3)假设厨余垃圾在”厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为 $a$，$b$，$c$，其中 $a>0$，$a+b+c=600$. 当数据 $a$，$b$，$c$ 的方差 $s^2$ 最大时，写出 $a$，$b$，$c$ 的值（结论不要求证明），并求此时 $s^2$ 的值.（本小题共 $13$ 分）

🔍【思路分析】

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（1）$\frac{2}{3}$；（2）$\frac{3}{10}$；（3）$a=600$，$b=c=0$ 时方差最大，$s^2=80000$。

✅【答案】

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(1)$\frac{2}{3}$

(2)$\frac{3}{10}$

(3)$a=600$，$b=0$，$c=0$，此时 $s^2=80000$

✍【详细解析】

Abstract

（1）厨余垃圾共 $400+100+100=600$ 吨，投放正确（进”厨余垃圾”箱）$400$ 吨，故 $P=\frac{400}{600}=\frac{2}{3}$。

（2）投放正确的总量为 $400+240+60=700$ 吨，错误 $300$ 吨，故 $P=\frac{300}{1000}=\frac{3}{10}$。

（3）平均数 $\bar{x}=\frac{600}{3}=200$ 为定值。数据越”极端”方差越大：$a=600$，$b=0$，$c=0$ 时最分散。

此时 $s^2=\frac{1}{3}\left[(600-200{)}^2+(0-200{)}^2+(0-200{)}^2\right]=\frac{160000+40000+40000}{3}=80000$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：样本频率估计总体概率；方差及其最值

核心方法：频数比 → 正确投放总量用对角线元素 → 均值固定时”越极端方差越大”

避坑指南：（2）用补集算：$1-\frac{700}{1000}$，“投放错误”包括所有错箱情况；（3）均值 $200$ 固定，三个非负数和为 $600$，方差最大即离均值最远，极端取值 $（600,0,0）$，且 $a>0$ 允许 $b=c=0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：统计表与方差综合题，与 2013 年辽宁卷文第 16 题（方差定最大值）、2014 年四川卷文第 2 题（统计概念）同族。

结论推广：一般地，$n$ 个非负数和为定值时，方差 $s^2=\frac{1}{n}\sum x_i^2-{\bar{x}}^2$ 在取值最极端时最大、最集中时为 $0$。

方法推广：统计大题先读表：行是”垃圾类别”、列是”箱子”，正确投放数在主对角线上；（3）按”均值固定 → 极端化”直接给结论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2013-辽宁卷文-16 填-方差定最大值
• 2014-四川卷文-02 单-统计基本概念