本题导读
考查新定义凸集。②线段、③半圆盘内任两点连线段不越界，①有凹口、④两圆分离处连线出集，填②③。
📌【题干】
Question
（2010年福建卷(文)） 对于平面上的点集 ，如果连接 中任意两点的线段必定包含于 ，则称 为平面上的凸集，给出平面上 个点集的图形如图所示（阴影区域及其边界），其中为凸集的是 .（写出所有凸集相应图形的序号）
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🔍【思路分析】
破题导航
- ①是凹多边形，凹口两侧两点的连线段穿出集合，不是凸集。
- ②是线段，其上任意两点的连线段仍在该线段上，是凸集。
- ③是半圆盘（弓形），边界为一段圆弧加直径，任两点的连线段不越出，是凸集。
- ④是两个分离（外切外离）的圆盘，取两圆各一点，连线段中部在集合外，不是凸集。
- 故凸集为②③。
✅【答案】
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②③
✍【详细解析】
Abstract
①的边界有凹口，取凹口两侧各一点，其连线段有一部分在该点集之外，故①不是凸集； ②是一条线段，其上任意两点的连线段仍落在这条线段上，故②是凸集； ③是半圆盘，由一段圆弧与直径围成，任取其中两点，连线段整个落在半圆盘内，故③是凸集； ④由两个分离的圆盘组成，取左边圆盘上一点与右边圆盘上一点，其连线段的中部落在两个圆盘之外，故④不是凸集. 综上，凸集为②③.
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：凸集新定义判定
核心方法：“任两点连线段仍在集合内”逐图检验：凹口与分离处是破坏点
避坑指南：线段本身也是凸集（任意两点在其中），别因”图形太简单”漏选②；两圆外切处连线段除切点外都在集合外，④不凸。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：凸性的直观判据：图形无凹口、连通且”填满”内部。
结论推广：反例只需一对点：连线段穿出集合即可否定凸性。
方法推广：新定义题的评分点在”用定义说话”，逐图给出理由比只写序号稳。
🔗【关联脉络】
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