2009-四川卷理-05 单-线面位置

本题导读

本题考查空间点、线、面的位置关系及线面角的计算。利用线面垂直的性质将空间线面角转化为平面角是解题关键。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(理)） 如图，已知六棱锥 $P-ABCDEF$ 的底面是正六边形，$PA\perp$ 平面 $ABC$，$PA=2AB$，则下列结论正确的是 ()

A. $PB\perp AD$　　　　　　　　B. 平面 $PAB\perp$ 平面 $PBC$

C. 直线 $BC\parallel$ 平面 $PAE$　　　D. 直线 $PD$ 与平面 $ABC$ 所成的角为 $45^{\circ }$

🔍【思路分析】

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1. 利用正六边形的对称性与线面垂直性质验证各线线、线面位置关系。
2. 找出直线 $PD$ 在平面 $ABC$ 内的射影，将线面角转化为直角三角形中的内角进行计算。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

设正六边形底面边长 $AB=1$，则 $PA=2AB=2$。

• 对于 (A)：在正六边形 $ABCDEF$ 中，$AD\parallel BC$，且 $AD$ 与 $AB$ 的夹角为 $60^{\circ }$，故 $AD$ 不垂直于 $AB$。又 $PA\perp$ 平面 $ABC⟹PA\perp AD$。若 $PB\perp AD$，则有 $AD\perp$ 平面 $PAB⟹AD\perp AB$，矛盾，故 (A) 错误；
• 对于 (B)：平面 $PAB$ 与平面 $PBC$ 的交线为 $PB$，不存在垂直关系，故 (B) 错误；
• 对于 (C)：在正六边形中，$BC\parallel AD$，而 $AD$ 与平面 $PAE$ 相交，故 $BC$ 与平面 $PAE$ 不平行，故 (C) 错误；
• 对于 (D)：因为 $PA\perp$ 平面 $ABC$，所以 $PD$ 在平面 $ABC$ 上的射影为 $AD$。 因此，直线 $PD$ 与平面 $ABC$ 所成的角即为 $\angle PDA$。 在正六边形中，主对角线 $AD=2AB=2$。 在 $\text{Rt}△PAD$ 中，$\tan \angle PDA=\frac{PA}{AD}=\frac{2}{2}=1$。 因为 $\angle PDA\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，所以 $\angle PDA=45^{\circ }$，故 (D) 正确。

故正确选项为 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直的性质定理，直线与平面所成角的定义与求法。
2. 核心方法：射影转化法，即将空间几何体问题转化为直角三角形的平面计算问题。
3. 避坑指南：熟练掌握正六边形的几何特征（如边长与对角线的数量关系 $AD=2AB$），避免在判断线线垂直时产生直觉误判。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于立体几何中传统的线面角与位置关系判定，以正六边形为底面增加了几何图形的丰富度，全面考查空间想象能力。
2. 结论推广：若一条直线垂直于一多边形所在平面，则该直线与多边形各顶点的连线与平面所成角的正切值等于垂直线段长与底面射影线段长的比值。

🔗【关联脉络】

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D

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷理-21 解-线面角
• 2011-四川卷理-19 解-三棱柱线面
• 2011-大纲卷文-20 解-四棱锥线面垂直与线面角