2009-四川卷理-14 填-几何证明

本题导读

本题将两圆相交的位置关系与切线的垂直特征结合，考查两圆公共弦长的求解。核心在于利用垂直关系构建直角三角形。

📌【题干】

Question

（2009年四川卷(理)） 若 $\odot O_1:x^2+y^2=5$ 与 $\odot O_2:(x-m{)}^2+y^2=20$ ($m\in \mathbf{R}$) 相交于 $A,B$ 两点，且两圆在点 $A$ 处的切线互相垂直，则线段 $AB$ 的长度是$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确两圆切线垂直的几何意义：第一圆的切线即过第二圆的半径，从而半径 $O_{1}A\perp O_{2}A$。
2. 构造直角三角形 $△O_{1}A{O}_2$，根据勾股定理求出连心线段 $O_1{O}_2$ 的长度。
3. 利用面积法求出 $A$ 到连心线的距离（即公共弦一半的高），进而得出 $AB$ 的长度。

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

由题意可知，两圆圆心分别为 $O_1(0,0)$，$O_2(m,0)$，半径分别为 $R_1=\sqrt{5}$，$R_2=\sqrt{20}$。 因为两圆在点 $A$ 处的切线互相垂直，而圆的切线垂直于过切点的半径， 所以半径 $O_{1}A$ 与半径 $O_{2}A$ 互相垂直，即 $\angle O_{1}A{O}_2=90^{\circ }$。

在 $\text{Rt}△O_{1}A{O}_2$ 中，由勾股定理得： $O_1{O}_2=\sqrt{O_1{A}^2+O_2{A}^2}=\sqrt{R_1^2+R_2^2}=\sqrt{5+20}=5$

设公共弦 $AB$ 与连心线 $O_1{O}_2$ 相交于点 $H$。 由圆的对称性可知 $O_1{O}_2\perp AB$ 且 $H$ 是 $AB$ 的中点。 在 $\text{Rt}△O_{1}A{O}_2$ 中，斜边上的高为 $AH$。由面积法可得： $\frac{1}{2}{O}_{1}A\cdot O_{2}A=\frac{1}{2}{O}_1{O}_2\cdot AH⟹\sqrt{5}\times \sqrt{20}=5\times AH⟹AH=2$

因此，线段 $AB$ 的长度为： $AB=2AH=4$

答案为：$4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的几何性质，两圆相交位置关系，公共弦长度求法。
2. 核心方法：几何转化法，利用“切线垂直”转化为“半径垂直”，进而使用直角三角形的高求弦长。
3. 避坑指南：避免使用代数法直接联立方程组，这样会由于未知数 $m$ 的引入大大增加计算复杂度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题基于两圆正交（Orthogonal Circles）的几何定义。当两相交圆在交点处的切线垂直时，称两圆正交，此时两半径与圆心距满足勾股定理。
2. 结论推广：对两个正交圆 $O_1$ 和 $O_2$，半径分别为 $R_1$ 和 $R_2$，它们的公共弦长 $d$ 满足： $d=\frac{2R_1{R}_2}{\sqrt{R_1^2+R_2^2}}$ 本题直接代入该公式得 $d=\frac{2\times \sqrt{5}\times \sqrt{20}}{\sqrt{5+20}}=4$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-17 单-三角方程解集
• 2011-上海卷理-08 填-三角函数
• 2011-上海卷理-17 单-三角