2009-湖北卷文-02 单-反函数

本题导读

考查反函数。解得 $x=\frac{1-y}{2(1+y)}$，反函数 $y=\frac{1-x}{2(1+x)}$（$x\ne -1$），选 D。

📌【题干】

Question

（2009年湖北卷(文)） 函数 $y=\frac{1-2x}{1+2x}$（$x\in \mathbf{R}$，$x\ne -\frac{1}{2}$）的反函数是 ()

A. $y=\frac{1+2x}{1-2x}$（$x\in \mathbf{R}$，$x\ne \frac{1}{2}$）　　　　　　B. $y=\frac{1-2x}{1+2x}$（$x\in \mathbf{R}$，$x\ne -\frac{1}{2}$）

C. $y=\frac{1+x}{2(1-x)}$（$x\in \mathbf{R}$，$x\ne 1$）　　　　　　D. $y=\frac{1-x}{2(1+x)}$（$x\in \mathbf{R}$，$x\ne -1$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 原式整理：$y(1+2x)=1-2x$，即 $2x(y+1)=1-y$。
2. 解出 $x=\frac{1-y}{2(1+y)}$（$y\ne -1$）。
3. 交换 $x$，$y$ 得反函数 $y=\frac{1-x}{2(1+x)}$（$x\ne -1$）。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $y=\frac{1-2x}{1+2x}$，得 $y+2xy=1-2x$，即 $2x(y+1)=1-y$， 所以 $x=\frac{1-y}{2(1+y)}$（$y\ne -1$）。 交换 $x$，$y$，得所求反函数为 $y=\frac{1-x}{2(1+x)}$（$x\in \mathbf{R}$，$x\ne -1$），选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：反函数的求法

核心方法：从 $y=f(x)$ 解出 $x$ 再交换，或用”原函数的值域即反函数的定义域”

避坑指南：反函数定义域 $x\ne -1$ 来自原函数值域 $y\ne -1$（分子分母相等时取不到），不是凭空规定。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解 $x$ 时把 $x$ 全部归到一侧：$2x(y+1)=1-y$。

结论推广：检验：$x=0$ 时原函数 $y=1$，反函数应满足 $y=0$ 时 $x=1$。

方法推广：分式反函数的定义域常与选项 C、D 之类”错位定义域”区分，看排除值在分子还是分母。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-01 填-反函数
• 2009-大纲卷II文-02 单-反函数求法
• 2009-大纲卷I文-06 单-反函数求值
• 2011-大纲卷文-02 单-反函数