2009-大纲卷I文-11 单-二面角距离最值

本题导读

考查二面角中的距离最值。把 $P$，$Q$ 到对面距离转为”到棱的距离 $\times \sin 60^{\circ }$”，$PQ$ 最小值出现在沿棱方向坐标相同、两侧点连线过棱时。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷I(文)） 已知二面角 $\alpha -l-\beta$ 为 $60^{\circ }$，动点 $P$、$Q$ 分别在面 $\alpha$、$\beta$ 内，$P$ 到 $\beta$ 的距离为 $\sqrt{3}$，$Q$ 到 $\alpha$ 的距离为 $2\sqrt{3}$，则 $P$、$Q$ 两点之间距离的最小值为 ()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $2\sqrt{3}$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 取 $l$ 为 $x$ 轴，面 $\beta$ 为 $z=0$，面 $\alpha$ 为 $z=\sqrt{3}y$。
2. $P=(x_0,y_0,\sqrt{3}{y}_0)$ 到 $\beta$ 距离 $=\sqrt{3}{y}_0=\sqrt{3}\Rightarrow y_0=1$；$Q=(x_1,y_1,0)$ 到 $\alpha$ 距离 $=\frac{\sqrt{3}{y}_1}{2}=2\sqrt{3}\Rightarrow y_1=4$。
3. $P{Q}^2=(x_0-x_1{)}^2+(y_1-y_0{)}^2+3y_0^2=(x_0-x_1{)}^2+12⩾12$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

取 $l$ 为 $x$ 轴，令面 $\beta$ 为 $z=0$ 半平面，面 $\alpha$ 的方程为 $z=\sqrt{3}y$（$y⩾0$）。 设 $P=(x_0,y_0,\sqrt{3}{y}_0)$，则 $P$ 到 $\beta$（$z=0$）的距离为 $\sqrt{3}{y}_0=\sqrt{3}$，得 $y_0=1$； 设 $Q=(x_1,y_1,0)$，$Q$ 到 $\alpha$ 的距离为 $\frac{|\sqrt{3}{y}_1|}{2}=2\sqrt{3}$，得 $y_1=4$。 于是 $P{Q}^2=(x_0-x_1{)}^2+(y_0-y_1{)}^2+(\sqrt{3}{y}_0-0{)}^2=(x_0-x_1{)}^2+9+3⩾12,$ 当 $x_0=x_1$ 时取等号，$PQ$ 的最小值为 $2\sqrt{3}$，选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二面角中的点到平面距离与最值

核心方法：建系把距离化为坐标表达式

避坑指南：$P$ 到 $\beta$ 的距离是 $\sqrt{3}{y}_0$（系数来自二面角 $60^{\circ }$ 的 $\tan$ 与 $\sin$）；$P{Q}^2$ 展开的第三项 $3y_0^2$ 别漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二面角中的距离最值常以”动点在两个半平面”呈现。

结论推广：半平面 $z=\sqrt{3}y$ 的法向量竖直分量的比值给出点到面距离公式。

方法推广：距离最值固定套路：设坐标 → 表达距离平方 → 令”可变项为零”取等。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2011-浙江卷文-20 解-线面垂直与二面角
• 2014-湖南卷文-18 解-二面角
• 2014-大纲卷文-19 解-三垂线与二面角