2009-重庆卷文-09 单-正四棱柱距离比

本题导读

考查点到直线与点到平面的距离。${\left(\frac{h}{d}\right)}^2=\frac{2(t^2+1)}{t^2+2}$ 随 $t=\frac{l}{a}$ 增大而增大；$l>a$ 时 $\frac{2\sqrt{3}}{3}<\frac{h}{d}<\sqrt{2}$，选 C。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(文)） 在正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，顶点 $B_1$ 到对角线 $B{D}_1$ 和到平面 $A_{1}BC{D}_1$ 的距离分别为 $h$ 和 $d$，则下列命题中正确的是 ()

A. 若侧棱的长小于底面的边长，则 $\frac{h}{d}$ 的取值范围为 $(0,1)$

B. 若侧棱的长小于底面的边长，则 $\frac{h}{d}$ 的取值范围为 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$

C. 若侧棱的长大于底面的边长，则 $\frac{h}{d}$ 的取值范围为 $\left(\frac{2\sqrt{3}}{3},\sqrt{2}\right)$

D. 若侧棱的长大于底面的边长，则 $\frac{h}{d}$ 的取值范围为 $\left(\frac{2\sqrt{3}}{3},+\infty \right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设底面边长 $a$、侧棱长 $l$，建系：$A(0,0,0),B(a,0,0),D(0,a,0),B_1(a,0,l),D_1(0,a,l)$。
2. $h=\frac{|\overrightarrow{B{B}_1}\times \overrightarrow{B{D}_1}|}{|\overrightarrow{B{D}_1}|}=\frac{al\sqrt{2}}{\sqrt{2a^2+l^2}}$。
3. 平面 $A_{1}BC{D}_1$：$lx+az=al$，$d=\frac{al}{\sqrt{l^2+a^2}}$。
4. $\frac{h}{d}=\frac{\sqrt{2}\sqrt{l^2+a^2}}{\sqrt{l^2+2a^2}}$，令 $t=\frac{l}{a}$，${\left(\frac{h}{d}\right)}^2=\frac{2(t^2+1)}{t^2+2}$ 随 $t$ 递增。
5. $l>a$ 即 $t>1$ 时，$\frac{2\sqrt{3}}{3}<\frac{h}{d}<\sqrt{2}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设正四棱柱的底面边长为 $a$，侧棱长为 $l$。建立空间直角坐标系，令 $A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),A_1(0,0,l),B_1(a,0,l),D_1(0,a,l).$ 直线 $B{D}_1$ 的方向向量为 $(-a,a,l)$，而 $\overrightarrow{B{B}_1}=(0,0,l)$，所以点 $B_1$ 到直线 $B{D}_1$ 的距离为 $h=\frac{|\overrightarrow{B{B}_1}\times \overrightarrow{B{D}_1}|}{|\overrightarrow{B{D}_1}|}=\frac{al\sqrt{2}}{\sqrt{2a^2+l^2}}.$ 平面 $A_{1}BC{D}_1$ 的一个法向量可取 $(l,0,a)$，其方程为 $lx+az=al$。因此 $d=\frac{|la+al-al|}{\sqrt{l^2+a^2}}=\frac{al}{\sqrt{l^2+a^2}}.$ 于是 $\frac{h}{d}=\frac{\sqrt{2}\sqrt{l^2+a^2}}{\sqrt{l^2+2a^2}}.$ 令 $t=\frac{l}{a}>0$，则 ${\left(\frac{h}{d}\right)}^2=\frac{2(t^2+1)}{t^2+2}$，其随 $t$ 增大而增大。 当 $l>a$，即 $t>1$ 时，$\frac{2\sqrt{3}}{3}<\frac{h}{d}<\sqrt{2}$。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：点到直线与点到平面的距离之比

核心方法：建系算 $h$、$d$，令 $t=\frac{l}{a}$ 化为单变量函数

避坑指南：${\left(\frac{h}{d}\right)}^2=\frac{2(t^2+1)}{t^2+2}=2-\frac{2}{t^2+2}$，单调性一眼看出；$t>1$ 时范围 $\left(\frac{2\sqrt{3}}{3},\sqrt{2}\right)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正四棱柱建系：底面放 $xOy$ 面，侧棱沿 $z$ 轴。

结论推广：比值的范围问题先平方化简，再看单调性，端点能否取到单独讨论。

方法推广：侧棱”小于”底面边长时范围是 $\left(1,\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$，四个选项只能全算一遍再对号。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2009-上海卷文-05 填-正四棱柱异面直线角
• 2009-大纲卷II文-05 单-正四棱柱异面直线
• 2009-北京卷文-07 单-正四棱柱线面角
• 2009-大纲卷I文-11 单-二面角距离最值