2009-重庆卷文-18 解-五面体距离二面角

本题导读

考查五面体中的距离与二面角。建系得 $FA=1$，$AB=\sqrt{2}$。（1）平面 $EFCD$：$y+2z=2$，距离 $\frac{2\sqrt{5}}{5}$；（2）$\angle FAE$ 为二面角平面角，$\tan \angle FAE=\sqrt{2}$。

📌【题干】

Question

（2009年重庆卷(文)） 如图，在五面体 $ABCDEF$ 中，$AB\parallel DC$，$\angle BAD=\frac{\pi }{2}$，$CD=AD=2$，四边形 $ABFE$ 为平行四边形，$FA\perp$ 平面 $ABCD$，$FC=3$，$ED=\sqrt{7}$.求：

(1)直线 $AB$ 到平面 $EFCD$ 的距离；

(2)二面角 $F-AD-E$ 的平面角的正切值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系：$A(0,0,0),B(p,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0)$，设 $FA=q$，取 $F(0,0,q),E(-p,0,q)$。
2. $F{C}^2=4+4+q^2=9\Rightarrow q=1$；$E{D}^2=p^2+4+q^2=7\Rightarrow p=\sqrt{2}$。 3.（1）平面 $EFCD$ 平行于 $x$ 轴，方程 $y+2z=2$；$AB\parallel x$ 轴，故 $AB\parallel$ 平面 $EFCD$。
3. 距离等于点 $A$ 到平面的距离：$\frac{|0+0-2|}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$。 5.（2）$FA\perp AD$，$FE\parallel AB$ 而 $AB\perp AD$，故 $FE\perp AD$，$\angle FAE$ 即二面角平面角。
4. $\tan \angle FAE=\frac{FE}{AF}=\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}$。

✅【答案】

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(1) $\frac{2\sqrt{5}}{5}$；(2)$\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

建立空间直角坐标系，使底面 $ABCD$ 在 $xOy$ 平面内，令 $A(0,0,0),B(p,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),$ 其中 $p=AB>0$。设 $FA=q>0$，由 $FA\perp$ 平面 $ABCD$ 及平行四边形 $ABFE$，可取 $F(0,0,q),E(-p,0,q).$ 由 $FC=3$，得 $F{C}^2=2^2+2^2+q^2=9$，所以 $q=1$。 又由 $ED=\sqrt{7}$，得 $E{D}^2=p^2+2^2+q^2=7$，从而 $p^2=2$，即 $p=\sqrt{2}$。 （1）平面 $EFCD$ 经过 $F(0,0,1)$、$D(0,2,0)$，且平行于 $x$ 轴，其方程为 $y+2z=2$。 直线 $AB$ 的方向为 $x$ 轴方向，故 $AB\parallel$ 平面 $EFCD$。于是所求距离等于点 $A$ 到该平面的距离： $d=\frac{|0+2\times 0-2|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$ （2）因为 $FA\perp$ 平面 $ABCD$，所以 $FA\perp AD$；又 $AD\perp AB$，且 $AB\parallel FE$，故 $AD\perp FE$。 从而 $AF$ 和 $AE$ 分别是两个半平面内过 $A$ 且垂直于棱 $AD$ 的直线，所以 $\angle FAE$ 是二面角 $F-AD-E$ 的平面角。 又因为 $AF\perp FE$，在直角三角形 $AFE$ 中， $\tan \angle FAE=\frac{FE}{AF}=\frac{AB}{FA}=\frac{\sqrt{2}}{1}=\sqrt{2}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：五面体建系：线面距与二面角

核心方法：由 $FC$、$ED$ 反解 $FA$、$AB$；线面距化点面距；找垂线定二面角平面角

避坑指南：$AB\parallel$ 平面 $EFCD$ 才能用点 $A$ 到平面的距离代替；$\angle FAE$ 是平面角依赖于 $FA\perp AD$ 且 $FE\perp AD$ 双重验证。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含平行四边形条件的几何体，先设边长参数，用距离条件逐一解出。

结论推广：直线到平面的距离：先证线面平行，再化归线上任一点到平面的距离。

方法推广：二面角平面角的定义法：棱上一点在两个半平面内各作棱的垂线，夹角即平面角。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-18 解-四棱锥垂直与二面角
• 2009-大纲卷I文-19 解-四棱锥二面角
• 2011-四川卷文-19 解-直三棱柱平行与二面角
• 2009-大纲卷I文-11 单-二面角距离最值