2010-大纲卷I文-22 解-抛物线与内切圆

本题导读

考查抛物线综合。（1）$uv=1$ 时 $k_{BD}=\frac{2}{v-u}=\frac{0-(-2u)}{1-u^2}=k_{DF}$；（2）$u^2+v^2=\frac{46}{9}$，$I\left(\frac{1}{9},0\right)$，$r=\frac{2}{3}$，圆 ${\left(x-\frac{1}{9}\right)}^2+y^2=\frac{4}{9}$。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(文)） 已知抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点为 $F$，过点 $K(-1,0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 相交于 $A$、$B$ 两点，点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $D$.

(1)证明：点 $F$ 在直线 $BD$ 上；

(2)设 $\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}=\frac{8}{9}$，求 $△BDK$ 的内切圆 $M$ 的方程.

🔍【思路分析】

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1.（1）设 $A(u^2,2u)$、$B(v^2,2v)$，弦 $AB$ 过 $K(-1,0)$ 得 $uv=1$。 2. $D(u^2,-2u)$，$F(1,0)$：$k_{BD}=\frac{2v+2u}{v^2-u^2}=\frac{2}{v-u}$，$k_{DF}=\frac{2u}{1-u^2}=\frac{2}{v-u}$（用 $v=\frac{1}{u}$），故共线。 3.（2）$\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}=(u^2-1)(v^2-1)+4uv=6-u^2-v^2=\frac{8}{9}$，$u^2+v^2=\frac{46}{9}$。 4. $w=u+v=\frac{8}{3}$（取正）：$KB=\frac{10v}{3}$，$KD=\frac{10u}{3}$，$BD=\frac{64}{9}$，周长 $16$。 5. 内心 $I=\left(\frac{1}{9},0\right)$，$r=I$ 到 $BK$ 的距离 $=\frac{2}{3}$。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 内切圆 $M$ 的方程为 ${\left(x-\frac{1}{9}\right)}^2+y^2=\frac{4}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设 $A=(u^2,2u)$，$B=(v^2,2v)$（$u\ne v$）。弦 $AB$ 的斜率为 $\frac{2}{u+v}$，方程为 $y=\frac{2}{u+v}x+\frac{2uv}{u+v}.$ 代入 $K(-1,0)$ 得 $uv=1$。 点 $D=(u^2,-2u)$，焦点 $F=(1,0)$。直线 $BD$ 的斜率为 $\frac{2v+2u}{v^2-u^2}=\frac{2}{v-u},$ 而直线 $DF$ 的斜率为 $\frac{0-(-2u)}{1-u^2}=\frac{2u}{1-u^2}$，由 $v=\frac{1}{u}$ 得 $\frac{2}{v-u}=\frac{2u}{1-u^2}$，两斜率相等， 故 $F$ 在直线 $BD$ 上。 （2）由 $uv=1$，$\overrightarrow{FA}=(u^2-1,2u)$，$\overrightarrow{FB}=(v^2-1,2v)$， $\overrightarrow{FA}\cdot \overrightarrow{FB}=(u^2-1)(v^2-1)+4uv=6-u^2-v^2=\frac{8}{9},$ 得 $u^2+v^2=\frac{46}{9}$，从而 $(u+v{)}^2=\frac{64}{9}$。记 $w=u+v$，取 $w=\frac{8}{3}$（对称情形结果相同）。 由 $K=(-1,0)$，$B=(v^2,2v)$，$D=(u^2,-2u)$ 及 $uv=1$，得 $KB=\frac{10v}{3},KD=\frac{10u}{3},BD=w^2=\frac{64}{9},$ 故 $KB+KD+BD=\frac{10w}{3}+\frac{64}{9}=16$。 由内心坐标公式（边长加权）， $I=\frac{KD\cdot B+KB\cdot D+BD\cdot K}{KB+KD+BD}=\left(\frac{1}{9},0\right).$ 直线 $BK$ 的方程为 $2x-wy+2=0$，内切圆半径 $r=\frac{\left|2\times \frac{1}{9}+2\right|}{\sqrt{4+w^2}}=\frac{20/9}{10/3}=\frac{2}{3}.$ 所以内切圆 $M$ 的方程为 ${\left(x-\frac{1}{9}\right)}^2+y^2=\frac{4}{9}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：抛物线参数法与内切圆方程

核心方法：参数点设 $A(u^2,2u)$、$B(v^2,2v)$，过定点条件化 $uv=1$

避坑指南：内心坐标公式是三边长加权平均（对边为权），权别配错；半径用点到直线距离算，别与弦长混用。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线 $y^2=4x$ 的参数点 $(t^2,2t)$ 使弦斜率 $\frac{2}{u+v}$ 极度简洁，是抛物线综合题的首选设法。

结论推广：过定点 $K(-1,0)$ 的弦满足 $uv=1$，这一结论可作为模型记忆。

方法推广：内切圆 $=$ 圆心（内心）$+$ 半径（到任一边距离），内心公式 $I=\frac{aA+bB+cC}{a+b+c}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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