2010-江苏卷-14 填-梯形周长面积比最值

本题导读

考查几何建模最值。$s=\frac{4(3-x{)}^2}{\sqrt{3}(1-x^2)}$，判别式法得 $s_{\min }=\frac{32\sqrt{3}}{3}$。

📌【题干】

Question

（2010年江苏卷） 将边长为 $1\mathrm{m}$ 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记 $s=\frac{(\text{梯形的周长}{)}^2}{\text{梯形的面积}}$，则 $s$ 的最小值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设剪下的小正三角形边长为 $x$（$0<x<1$）。
2. 梯形周长 $=1+x+2(1-x)=3-x$，面积 $=\frac{\sqrt{3}}{4}(1-x^2)$。
3. $s=\frac{(3-x{)}^2}{\frac{\sqrt{3}}{4}(1-x^2)}=\frac{4(3-x{)}^2}{\sqrt{3}(1-x^2)}$。
4. 设 $k=\frac{(3-x{)}^2}{1-x^2}$，整理为 $(k+1)x^2-6x+9-k=0$，$\Delta ⩾0$ 得 $k⩾8$。
5. $s_{\min }=\frac{4\times 8}{\sqrt{3}}=\frac{32\sqrt{3}}{3}$。

✅【答案】

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$\frac{32\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设沿平行于一边的直线剪下的小正三角形边长为 $x$（$0<x<1$）， 则梯形的三边为 $1$、$x$、两腰各 $1-x$，周长 $L=1+x+2(1-x)=3-x,$ 面积 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}(1-x^2).$ 故 $s=\frac{L^2}{S}=\frac{4(3-x{)}^2}{\sqrt{3}(1-x^2)}.$ 记 $k=\frac{(3-x{)}^2}{1-x^2}$，去分母整理： $(k+1)x^2-6x+9-k=0.$ $x$ 为实数，判别式 $\Delta =36-4(k+1)(9-k)=4(k^2-8k)⩾0\Rightarrow k⩾8(k>0),$ $k=8$ 时 $9x^2-6x+1=0$，$x=\frac{1}{3}\in (0,1)$，可以取到。 故 $s_{\min }=\frac{4\times 8}{\sqrt{3}}=\frac{32\sqrt{3}}{3}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：几何建模与函数最值

核心方法：设小三角形边长 $x$ 表示周长与面积，判别式法求下界

避坑指南：梯形周长 $3-x$ 中两腰各为 $1-x$ 不是 $1$；判别式法得 $k⩾8$ 后必须验证 $x=\frac{1}{3}$ 落在 $(0,1)$ 内，否则最小值取不到。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正三角形剪平行线：小三角形与原三角形相似，边长线性、面积平方。

结论推广：判别式法求分式函数最值：$k=\frac{(3-x{)}^2}{1-x^2}$ 化为 $x$ 的二次方程有实解。

方法推广：导数法同样可行，$s^{\prime }(x)=0$ 解出 $x=\frac{1}{3}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2009-北京卷文-15 解-二倍角最值
• 2009-大纲卷I文-22 解-抛物线与圆最值
• 2011-四川卷文-15 填-内接圆柱侧面积最值
• 2009-江苏卷-19 解-满意度与基本不等式