2009-大纲卷II文-20 解-分层抽样与概率

本题导读

统计概率综合。抽样比 $4:20$，甲乙各抽 $2$ 人；(2) 用组合数直接算；(3) 按甲组抽到男工人数 $0,1,2$ 三类枚举。

📌【题干】

Question

（2009年大纲卷II(文)） 某车间甲组有 $10$ 名工人，其中有 $4$ 名女工人；乙组有 $10$ 名工人，其中有 $6$ 名女工人.现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取 $4$ 名工人进行技术考核.

(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；

(2)求从甲组抽取的工人中恰有 $1$ 名女工人的概率；

(3)求抽取的 $4$ 名工人中恰有 $2$ 名男工人的概率.

🔍【思路分析】

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1. (1) 抽样比 $\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$，甲、乙各抽 $2$ 人。
2. (2) $\frac{{\mathrm{C}}_4^1{\mathrm{C}}_6^1}{{\mathrm{C}}_{10}^2}=\frac{24}{45}=\frac{8}{15}$。
3. (3) 甲组男工 $6$、女工 $4$；乙组男工 $4$、女工 $6$。按甲组男工人数分类：$6\times 6+24\times 24+15\times 15=837$，除以 ${\mathrm{C}}_{10}^2{\mathrm{C}}_{10}^2=2025$，得 $\frac{31}{75}$。

✅【答案】

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(1) 甲、乙两组各抽取 $2$ 人；(2)$\frac{8}{15}$；(3)$\frac{31}{75}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 抽样比为 $\frac{4}{20}=\frac{1}{5}$，故甲组抽取 $10\times \frac{1}{5}=2$ 人，乙组抽取 $10\times \frac{1}{5}=2$ 人。

（2） 甲组 $10$ 人中女工 $4$ 人、男工 $6$ 人。从甲组抽取的 $2$ 人中恰有 $1$ 名女工人的概率为 $P_1=\frac{{\mathrm{C}}_4^1{\mathrm{C}}_6^1}{{\mathrm{C}}_{10}^2}=\frac{24}{45}=\frac{8}{15}.$

（3） 甲组有男工 $6$ 人、女工 $4$ 人；乙组有男工 $4$ 人、女工 $6$ 人。样本空间总数为 ${\mathrm{C}}_{10}^2\times {\mathrm{C}}_{10}^2=45\times 45=2025.$ 抽取的 $4$ 人中恰有 $2$ 名男工，按甲组抽到男工人数 $j=0,1,2$ 分类：

• $j=0$：甲组 $2$ 女（${\mathrm{C}}_4^2=6$ 种），乙组 $2$ 男（${\mathrm{C}}_4^2=6$ 种），共 $36$ 种；
• $j=1$：甲组 $1$ 男 $1$ 女（$6\times 4=24$ 种），乙组 $1$ 男 $1$ 女（$4\times 6=24$ 种），共 $576$ 种；
• $j=2$：甲组 $2$ 男（${\mathrm{C}}_6^2=15$ 种），乙组 $2$ 女（${\mathrm{C}}_6^2=15$ 种），共 $225$ 种。 故所求概率为 $P_2=\frac{36+576+225}{2025}=\frac{837}{2025}=\frac{31}{75}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分层抽样与古典概型

核心方法：按比例分配 + 分类枚举

避坑指南：(3) 中两组的男女比例不同（甲 $6$ 男 $4$ 女、乙 $4$ 男 $6$ 女），分类时两边要”配对”：甲出 $j$ 个男、乙出 $2-j$ 个男，别只用一组数据。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分层抽样与古典概型结合是文数解答题固定板块。

结论推广：分层抽样人数 = 层内人数 × 抽样比；组合数计分子分母。

方法推广：多组联合的”恰有 $k$ 个”问题，按其中一组的贡献数分类枚举。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2012-天津卷文-15 解-分层抽样与古典概型
• 2013-广东卷文-17 解-分层抽样与古典概型
• 2009-新课标卷文-19 解-分层抽样与频率分布