2013-新课标I卷文-21 解-椭圆与圆的公切线

本题导读

本题考查椭圆的定义与标准方程。核心在于由相切条件转化为距离和定值、联立方程求弦长的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2013年新课标I卷(文)） 已知圆 $M:(x+1{)}^2+y^2=1$，圆 $N:(x-1{)}^2+y^2=9$，动圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并与圆 $N$ 内切，圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $C$.

(1)求 $C$ 的方程；

(2)$l$ 是与圆 $P$、圆 $M$ 都相切的一条直线，$l$ 与曲线 $C$ 交于 $A$、$B$ 两点，当圆 $P$ 的半径最长时，求 $|AB|$.

🔍【思路分析】

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1. 设圆 $P$ 半径 $r$，由外切得 $|PM|=r+1$、由内切得 $|PN|=3-r$，相加得 $|PM|+|PN|=4$，为椭圆。
2. 注意当 $P$ 为 $(-2,0)$ 时 $r=0$ 不合题意，需去掉该点。
3. （2）由 $r=3-|PN|$ 与椭圆上 $|PN|$ 的最小值定 $r_{\max }=2$，此时圆心为 $(2,0)$，再求公切线弦长。

✅【答案】

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(1)$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$（$x\ne -2$） (2)$|AB|=2\sqrt{3}$ 或 $\frac{18}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 设动圆 $P$ 的半径为 $r$（$r>0$），圆心 $P(x,y)$。 圆 $M$ 的圆心 $M(-1,0)$、半径 $1$；圆 $N$ 的圆心 $N(1,0)$、半径 $3$。 因为圆 $P$ 与圆 $M$ 外切，所以 $|PM|=r+1$；因为圆 $P$ 与圆 $N$ 内切，所以 $|PN|=3-r$。 两式相加得 $|PM|+|PN|=4>|MN|=2,$ 故点 $P$ 的轨迹是以 $M$、$N$ 为焦点的椭圆。其中 $2a=4$，$c=1$，故 $a=2$，$b^2=a^2-c^2=3$，所以 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1.$ 又当 $P$ 落在 $(-2,0)$ 处时 $|PN|=3$、$r=0$，不合题意，故 $x\ne -2$。

（2） 由 $r=3-|PN|$ 知，$r$ 最大时 $|PN|$ 最小。$N(1,0)$ 为椭圆的右焦点，椭圆上到 $N$ 最近的点为右顶点 $(2,0)$，此时 $|PN{|}_{\min }=a-c=1$，故 $r_{\max }=3-1=2$，圆 $P$ 的圆心为 $(2,0)$、半径为 $2$。 圆 $P:(x-2{)}^2+y^2=4$ 与圆 $M:(x+1{)}^2+y^2=1$ 的圆心距为 $3=2+1$，两圆外切，切点为 $(0,0)$。 设公切线 $l:y=kx+m$，由 $l$ 到 $M$、$P$ 的距离分别为 $1$、$2$： $\frac{|m-k|}{\sqrt{1+k^2}}=1,\frac{|2k+m|}{\sqrt{1+k^2}}=2,$ 可解得两条斜公切线以及公切线 $x=0$。

• 当 $l:x=0$ 时，代入椭圆得 $y=\pm \sqrt{3}$，故 $|AB|=2\sqrt{3}$；
• 当 $l$ 为斜公切线（如 $y=\frac{x}{2\sqrt{2}}+\sqrt{2}$）时，与椭圆联立求弦长，得 $|AB|=\frac{18}{7}$。 综上，$|AB|=2\sqrt{3}$ 或 $\frac{18}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的定义与标准方程、直线与椭圆的弦长

核心方法：由相切条件转化为距离和为定值、联立求弦长

避坑指南：$|PM|+|PN|=4$ 为定值才是椭圆的定义依据（“外切给 $r+1$、内切给 $3-r$”）；还要排除 $(-2,0)$ 这个不合题意的点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线中的轨迹与弦长。

结论推广：到两定点距离之和为常数（大于两定点间距离）的点的轨迹是椭圆。

方法推广：求弦长的两条路：过焦点用焦半径，一般弦联立后用 $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-20 解-直线与圆
• 2014-新课标I卷文-20 解-圆的弦中点轨迹