2011-湖南卷文-13 填-向量反向坐标

本题导读

本题考查向量的共线（平行），以及向量的坐标表示。

📌【题干】

Question

（2011年湖南卷(文)） 设向量 $\mathbf{a}$，$\mathbf{b}$ 满足 $|\mathbf{a}|=2\sqrt{5}$，$\mathbf{b}=(2,1)$，且 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 的方向相反，则 $\mathbf{a}$ 的坐标为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 步骤1：反向共线设 $\mathbf{a}=\lambda \mathbf{b}$（$\lambda <0$）
2. 步骤2：用模长定 $\lambda$

✅【答案】

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$(-4,-2)$

✍【详细解析】

Abstract

$\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 共线且方向相反，故 $\mathbf{a}=\lambda \mathbf{b}=\lambda (2,1)$，$\lambda <0$。

$|\mathbf{a}|=|\lambda ||\mathbf{b}|=|\lambda |\sqrt{2^2+1^2}=|\lambda |\sqrt{5}=2\sqrt{5}$，得 $|\lambda |=2$。

方向相反要求 $\lambda <0$，故 $\lambda =-2$，$\mathbf{a}=-2(2,1)=(-4,-2)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：共线向量定理；方向相反对 $\lambda$ 符号的约束

核心方法：共线即坐标成比例：设 $\mathbf{a}=\lambda \mathbf{b}$，模长定绝对值，方向定符号

避坑指南：模长只给出 $|\lambda |=2$，“方向相反”是取 $\lambda =-2$ 的唯一依据——漏看方向取 $\lambda =2$ 会错成 $(4,2)$；$|\mathbf{b}|=\sqrt{5}$ 别算成 $5$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：向量共线题与 2011-北京卷文-11、2012-浙江卷文-07、2015-四川卷文-02 同族。

结论推广：推广：$\mathbf{a}=\lambda \mathbf{b}$（$\mathbf{b}\ne 0$）时，$\lambda >0$ 同向、$\lambda <0$ 反向，$|\lambda |$ 是两模之比；反向单位向量即 $-\frac{\mathbf{b}}{|\mathbf{b}|}$。

方法推广：向量坐标小题：共线先设比例系数，模长与方向各定一半，两条件合起来唯一确定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2011-北京卷文-11 填-向量共线求参
• 2012-浙江卷文-07 单-向量模与共线
• 2015-四川卷文-02 单-向量共线