2009-安徽卷理-07 单-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划与平面区域、三角形的面积与中线性质。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2009年安徽卷(理)） 若不等式组 $\{\begin{array}{l}x⩾0\\ x+3y⩾4\\ 3x+y⩽4\end{array}$ 所表示的平面区域被直线 $y=kx+\frac{4}{3}$ 分为面积相等的两部分，则 $k$ 的值是 ()

A. $\frac{7}{3}$　　　　　　　B. $\frac{3}{7}$　　　　　　　C. $\frac{4}{3}$　　　　　　　D. $\frac{3}{4}$

🔍【思路分析】

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1. 作出不等式组表示的平面可行域，求解该三角形区域的三个顶点坐标。
2. 观察直线 $y=kx+\frac{4}{3}$ 的特征，发现其恒过三角形的其中一个顶点。
3. 根据三角形中线平分面积的几何性质，确定直线必过该顶点所对边（线段）的中点，代入中点坐标求得 $k$。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：首先求解约束条件围成的可行域顶点：

• 由 $\{\begin{array}{l}x=0\\ x+3y=4\end{array}⟹A\left(0,\frac{4}{3}\right)$；
• 由 $\{\begin{array}{l}x=0\\ 3x+y=4\end{array}⟹B(0,4)$；
• 由 $\{\begin{array}{l}x+3y=4\\ 3x+y=4\end{array}⟹C(1,1)$。 该平面区域是以 $A,B,C$ 为顶点的三角形区域。

观察已知直线 $L:y=kx+\frac{4}{3}$，其在 $y$ 轴上的截距为 $\frac{4}{3}$，即直线 $L$ 恒过三角形的顶点 $A\left(0,\frac{4}{3}\right)$。 要使直线 $L$ 将 $\Delta ABC$ 的面积平分，根据几何性质，直线 $L$ 必须经过顶点 $A$ 所对边 $BC$ 的中点。 根据中点坐标公式，线段 $BC$ 的中点 $M$ 的坐标为： $x_M=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2},y_M=\frac{4+1}{2}=\frac{5}{2}⟹M\left(\frac{1}{2},\frac{5}{2}\right)$ 将中点 $M$ 的坐标代入直线方程 $y=kx+\frac{4}{3}$ 中： $\frac{5}{2}=k\cdot \frac{1}{2}+\frac{4}{3}$ $\frac{1}{2}k=\frac{5}{2}-\frac{4}{3}=\frac{7}{6}⟹k=\frac{7}{3}$ 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二元一次不等式组围成的多边形网格；直线系方程的定点问题；三角形面积平分几何模型的代数化。
2. 核心方法：几何中点转化法。
3. 避坑指南：容易盲目使用复杂的定积分或解析几何中的割补法去表示两部分面积，若没有注意到直线过定点 $A$ 的特殊性，会导致极大的运算浪费。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自教材中线性规划平面区域应用与初中平面几何“等底同高”中线定理的跨学段交汇。
2. 结论推广：过三角形顶点 $A$ 的直线若将三角形面积分为 $m:n$ 两部分，则该直线必交对边于满足向量比值 $\overrightarrow{BD}=\frac{m}{n}\overrightarrow{DC}$ 的分点 $D$ 处。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2011-上海卷文-09 填-线性规划最值
• 2011-上海卷文-17 单-三角方程解集
• 2011-上海卷理-08 填-三角函数